探索大跨悬索桥抖振动力可靠性研究

　　摘要：
　　本文在抖振时域分析的基础上，基于首次超越破坏机制，给出了6 种不同方法计算结构各控制点抖振动力可靠性。在此基础上，采用简化的串联失效模式，介绍了悬索桥主梁系统抖振动力可靠性分析的过程。最后，以某特大悬索桥为工程背景，用文中的方法对其主梁系统进行了抖振动力可靠性分析。
　　
　　关键词：悬索桥；抖振；动力可靠性；时域分析
　　
　　中图分类号：U441.3 文献标识码：A
　　
　　1 引言
　　
　　结构动力可靠性分析是计算在随机动荷载作用下结构在给定时间内不发生破坏的条件概率。抖振是来流中的脉动成分引起的抖振力和平均成分产生的自激力对结构共同作用的结果，过大的抖振响应将导致结构的较大变形以及局部疲劳。因此，抖振动力可靠性以及相关问题已经成为国内外学者研究的对象[1~5]。
　　
　　以往各学者的研究主要针对单自由度结构或相对简单的桥塔等结构，也有一部分学者对斜拉桥进行了深入研究，但是对于大跨度悬索桥抖振动力可靠性研究比较少见。鉴于这种情形，本文基于首次超越破坏机制，分别采用泊松过程法、Vanmarcke法、考虑丛影响的Vanmarcke 法以及在此基础上对谱密度形状系数k 做出修正的Vanmarcke 法、瑞雷分布法和正态分布法对某特大跨悬索桥主梁系统的抖振动力可靠性问题进行了研究。　　
　　
　　2 动力可靠性理论
　　
　　由于动力可靠性分析时存在着结构的随机性、荷载的随机性等问题，因此在实际分析时都采用简化的模型，不考虑结构的随机性，破坏机制采用首次超越破坏机制。这种机制在工程中应用广泛[3][6]，它认为结构的破坏以其动力反应（如控制点的应力或位移等）首次超过临界值或安全界限为标志。
　　
　　2.1 计算结构抖振动力可靠度的近似方法
　　
　　结构的动力可靠度精确解的获得相当困难；一般只能求得该问题的近似解。目前，用于动力可靠度计算的近似方法主要有以下几种。
　　
　　(1)泊松过程法
　　
　　这种方法假定结构反应对界限的跨越是独立的，且服从泊松分布。此时结构的动力可靠概率为：
　　
　　Ps = exp(vt) (1)式中，对于单侧超越，称为极限损坏率； x σ 与x σ 分别为结构动力反应与反应速度的均方差；a 为结构的抖振动力可靠性界限；t为强风持续时间。
　　
　　(2)Vanmarcke 法这种方法假定结构反应与界限交叉次数成群出现，且不是独立的，服从Markov 过程，结构的动力可靠概率为：　　
　　
　　做零跨越的期望率；(3)考虑丛影响的Vanmarcke 法窄带随机过程的水平跨越会趋于成“丛”产生，考虑这种影响时，结构的动力可靠概率为：
　　
　　0 exps P = P vt (3)式中，称为谱密度形状系数；为随机过程第i 阶谱矩。
　　
　　(4)修正的Vanmarcke 法模拟研究（Cook，1964）已表明：对于短时期，首次跨越时间的分布函数是迅速衰减的，对于长的时期，它变成指数衰减。为了近似计入这一结果，Vanmarcke 建议将k 用代替，其中b 为正常数，通常可选b＝0.2。
　　
　　(5)瑞雷分布法与正态分布法根据随机过程理论，结构反应的极值分布是介于瑞雷分布和正态分布之间的[7]。考虑两种极端的情况，根据瑞雷分布法，结构的动力可靠概率为：　　
　　
　　根据正态分布法，结构的动力可靠概率为：
　　
　　以上六种计算结构动力可靠度的方法皆为近似方法，都针对实际情况做了相应的简化。
　　
　　2.2 结构体系的抖振动力可靠性
　　
　　本文的 2.1 节给出的是关于结构一个节点或截面的动力可靠度计算方法，结构体系可靠度的计算非常复杂，悬索桥结构是一个复杂的超静定结构，为了使问题简化，本文采用简化的串联失效模式，对悬索桥主梁体系的抖振动力可靠性进行探讨。串联模型认为结构系统的任一单元失效，则该系统失效。根据串联失效理论，悬索桥主梁系统表示为：
　　
　　1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8图 1 主梁系统的串联模型根据 Stevenson-Moses 算法[8]，若系统各失效模式完全正相关，则整个体系失效概率为：
　　
　　 max f f i P = P (6)式中Pf,i 为主梁的节点或截面的失效概率。
　　
　　若系统各失效模式相互独立，则有：
　　
　　一般而言，结构体系各失效模式关系既非完全正相关，又非统计独立，而是介于两者之间，故整个体系的失效概率变化范围为：
　　
　　因此，结构体系可靠概率上下限计算公式为：
　　
　　式中， s,i P 为主梁的节点或截面的可靠概率。
　　
　　3 抖振时域分析方法
　　
　　根据模拟的风速波，使用准定常气动力理论把风速时程转换为作用在结构上的风力时程，按照准定常假定，风流动时作用在桥梁主梁上的瞬时气动力可分解为静力项、紊流引起的抖振力项和气动弹性现象产生的耦合自激力项，即作用在结构上的气动力为：L(t) L (t) L (t) L (t) s b se = + + ，Ls为静风风力，Lb 为抖振力项，Lse 为自激力项，是耦合项，同时受脉动风速和结构运动速度的影响。进行非线性抖振时域分析时，将静力项和抖振力项同时施加在结构上计算响应。主梁各点的抖振力计算公式为：
　　
　　上述抖振力计算公式是在初始风轴坐标下给出的单位长度主梁上的风力，需转换为结构模型的整体坐标系下（整体坐标的X、Y、Z 轴分别设为桥梁顺桥向、竖直向和横桥向方向）：
　　
　　对于主缆和桥塔，只需考虑气动阻力，Zb DD F t = ρUu t A C (12)在公式(10)～(12)中， b L 、b D 、b M 为在初始风轴坐标系下的气动升力、阻力和扭矩， Y ,b F 、Z ,b F 、X ,b M表示在整体坐标系下的抖振力，ρ 为空气密度；U为平均风速；u、w 为节点处模拟的顺风向和竖直向脉动风速； D A 和L A 分别为计算节点受风部分在侧向和竖向投影的面积； L s C α 、 D s C α 、M s C α 和L s C′ α 、D s C′ α 、M s C′ α 为主梁气动升力系数、阻力系数和扭矩系数及其导数，可由风洞试验给出；为风攻角。可以看出，在上述公式中忽略了许多小量和耦合项，这样计算的精度大为降低，但是对于一般大跨桥梁而言，使用基于准定常假设的抖振力计算公式，精度是足够的。
　　
　　有了抖振力时程，便可以利用大型有限元程序ANSYS 将时程读入并加载到相应的加载点上，求解动力方程，得到各种不同工况下的位移响应时间历程，求出位移、速度、加速度的方差，编制Matlab程序求出位移时程的功率谱密度，进而求得各阶谱矩，这样就可以带入本文2.1 节介绍的几种公式中计算主梁各控制点的抖振动力可靠度，并求得主梁系统动力可靠度界限。
　　
　　4 随机过程平稳性、正态性以及各态历经性检验
　　
　　本文2.1 节中采用的各可靠度计算公式都是基于平稳、正态、各态历经随机过程，只有这种随机过程，才能以单个时间历程（样本函数）的特性去表征整个随机振动过程，因此，必须检验各位移时程是否满足平稳性、正态性以及各态历经性。
　　
　　平稳性采用轮次法检验[9]；正态性采用卡埃平方拟合优度检验[10]；在理论上要确定一个随机振动过程的总体是否符合各态历经，要看其集合平均值是否等于时间平均值，这是很困难的。因此，目前对各态历经的检验主要是靠物理判断，即若该随机过程的各个样本本身是平稳的，而且获得各个样本的基本物理因素大体相同，则认为由这些样本所代表的随机过程的总体是各态历经的[9]。
　　
　　5 算例
　　
　　某特大悬索桥，路线跨越处峡谷谷口宽度约650m，主桥为900m 单跨双铰钢桁架加劲梁悬索桥，本桥加劲钢桁架梁由主桁架、上下平联、横向桁架组成，两桥塔高分别为117.7m、113.1m，为混凝土结构。该桥属于柔性结构，有必要对其在风荷载作用下的抖振动力可靠性进行分析。如图2 所示，采用大型有限元软件ANSYS 对其建立有限元模型。
　　
　　根据悬索桥主梁结构及变形特点，本文分别取主跨的1/8、1/4、3/8、1/2、5/8、3/4、7/8 处为控制节点，控制节点总数为k＝7，考虑三个风向θ＝-120、θ＝00、θ＝+120，平均风速取40m/s、55m/s、60m/s 三个等级。
　　
　　针对刚度要求，参考《公路斜拉桥设计规范（试行）》规定，取悬索桥主梁最大竖向挠度不应大于L/400（L 为中跨跨径），当荷载产生正负不同挠度时，计算挠度应为正负挠度的最大绝对值之和。对该悬索桥，中跨跨径为900m，取界限2a＝L/400＝2.25m，即a＝1.125m。
　　
　　5.1 位移时程平稳性、正态性和各态历经性检验
　　
　　该悬索桥为高柔性结构，非线性非常强，有必要检验其抖振位移时程的平稳性、正态性和各态历经性。
　　
　　平稳性采用轮次法检验，将时间历程分为20个区间，对每个区间计算其均方值。表1 列出了在最不利情况（平均风速60m/s，+120 攻角）下对主梁跨中位移时程进行轮次法检验的情况，取序列的中值为0.11，根据表中所列数据，可以得出该时间历程的轮次数为12，给定显著水平a＝0.05，查轮次分布表（见文献[9]），得序列相对于中值的轮次数为6～15，12 在这个范围之内，所以被检验的数据（均方值序列）是平稳的。其余各状态下各控制点的位移时间历程均有类似的结论，这里不再详述。
　　
　　按本文第4 节所述方法可以认为风荷载作用下结构的反应为各态历经过程，同时为了进一步证明该结论，在最不利情况（平均风速60m/s，+120 攻角）下选取10 条脉动风波进行计算，发现各统计量（均值、标准差）都基本相等，这样更加说明了可以用单个时间历程的特性去计算主梁各控制点5.2 主梁抖振动力可靠性分析在三个风向θ＝-120、θ＝00、θ＝+120 以及平均风速取U=40m/s、U=55m/s、U=60m/s 三个等级下，分别采用了文中2.1 节介绍的几种动力可靠度公式计算主梁系统各控制节点的抖振动力可靠概率，表2 列出了跨中节点抖振动力可靠概率随着风速和攻角的变化情况，可以看出当强风持时T 相同时，Ps,跨中随风速U 增加而减小；当T 与风速U 均相同时，00 攻角下Ps,跨中最大，其次是-120 攻角，+120 攻角下Ps,跨中最小。
　　
　　图 4 表示出了按不同计算方法随时距的变化Ps,跨中的变化情况，可以看出，①当风速和攻角相同时Ps,跨中随强风持时T 的增加而减小；②各条件均相同时，对比各公式计算的数值，瑞雷分布法和正态分布法给出了动力可靠度的界限值；时距短的时候各公式计算的可靠度相差不大，随时距的加长，各公式计算数值有一定的差别，但是由于界限较高，相差仍然不大；Poisson 过程法和不考虑丛的Vanmarcke 法所得的结果是非常保守的估算值；考虑丛的Vanmarcke 法比Poisson 过程法有较少的保守性，修正k 的Vanmarcke 法由于其计算数据和考虑丛的Vanmarcke 法计算数据较接近，未在图中表示，但是参考表2 可知其比Poisson 过程法和考虑丛的Vanmarcke 法具有更少的保守性。
　　
　　八分点处和四分点处竖向位移相应的动力可靠度亦有相同的结论，限于篇幅未在文中列出。
　　
　　图 5 表示出了风速60m/s、+120 攻角、100s 时距这种情况下主梁各控制点的动力可靠度，可以看出，主梁5/8 处的动力可靠度最小，但是即使是在这种最不利的情况下，主梁各处的抖振动力可靠度都是相当高的，其余情况下也有类似的结论，在此不加以详述。
　　
　　以上计算了在平均风速U=40m/s、U=55m/s、U=60m/s 三个等级下，在k＝7 个控制点上的抖振动力可靠概率。在此基础上，按照本文2.2 节介绍的主梁系统抖振动力可靠性分析过程，采用式(9)计算在各级风速下主梁体系可靠概率上、下界限。
　　
　　6 结论基于首次超越机制，本文分别采用了泊松过程法、Vanmarcke 法、考虑丛影响的Vanmarcke 法以及在此基础上对谱密度形状系数k 作出修正的Vanmarcke 法、瑞雷分布法和正态分布法计算悬索桥主梁上7 个控制点的抖振动力可靠度，并运用简化的串联失效模式计算了主梁系统基于刚度要求的抖振动力可靠度，其中考虑了不同风速、不同风攻角、不同强风持时的影响。结果表明：
　　
　　(1) 主梁各控制点的抖振动力可靠概率随着风速增大而减小；随着强风持时增加而减小；当风速和强风持时相同时各控制点的动力可靠概率在00 攻角下最大，其次是-120 攻角，+120 攻角下最小。
　　
　　(2) 当各条件均相同时，瑞雷分布法和正态分布法给出了动力可靠度的界限值；时距短的时候各公式计算的可靠度相差不大，随时距的加长，各公式计算数值有一定的差别，但是由于界限较高，相差仍然不大；Poisson 过程法和不考虑丛的Vanmarcke 法所得的结果是非常保守的估算值，只有在水平较高时才具有较高的可信度；从图4 中可以看出，考虑丛的Vanmarcke 法比Poisson 过程法有较少的保守性，修正k 的Vanmarcke 法比Poisson 过程法和考虑丛的Vanmarcke 法具有更少的保守性。
　　
　　(3) 从图 5 中可以看出，当攻角为正值时，主梁5/8 处的动力可靠度最小。
　　
　　(4) 从表 3 可以看出，主梁系统的抖振动力可靠概率还是比较大的，实际中一般不会发生超越。