摘要：思辨数学的概念是弗赖登塔尔提出的．概率统计课程中思辨数学内容至少包含思辨求解和思辨推断两个模块．关于思辨数学与算法数学的区分，能为概率统计教学提供重心，在教学法上具有重要意义．珍视概率统计课程中思辨数学的教育价值，驱动以概念为本的概率统计课程教学，对训练创新思维素养和培育直觉能力有着独特的作用．
关键词：思辨数学；算法；概率统计；直觉思维
1 思辨数学词源诠释
思辨数学一词是荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔（Freudenthal，1905—1990）首先提出的．他在名著《作为教育任务的数学》中举例诠释了思辨数学与算法数学的区别：设有相同数量的白酒与红酒各一杯，取一匙白酒倒入红酒内，使之混合，再取同量的一匙混合酒倒入白酒内．试问，白酒杯中所含的红酒比红酒杯中所含的白酒多，还是正好相反？答案是：两种含量一样多．然而解题方法有两种，一种是根据其取法操作，列出算式计算……另一种是这样思考的：设想每个杯子中的白酒和红酒是分开的，那么白酒杯中的红酒正是红酒杯中所缺少的部分，而它的空缺现在正好被白酒所填补．前一种解法是算法求解，后一种解法是思辨求解[1]．“ 算法” （Algorithm）就是指计算诀窍．有种界定：“ 算法是为了实现一个计算或者解决一个问题的精确指令的有限集合．” [2]算法还被广泛理解为解决问题的所有确定步骤．思辨数学也称为概念数学[3]．
类似地，解一个概率问题：设有一线段AB，在AB 上随机地投一点X，记ξ = AX ，问Eξ 等于多少?（所谓“ 随机地” 的意思是点X 落在线段CD 上的概率等于CD/AB．这个概率只与CD 的长度有关，而与CD 位于AB 中的哪一段无关．这就是几何概型中的等可能性或对称性）．如图1：图1 线段上的点
解法一：置线段AB 于直角坐标系中，记A、B、X 的坐标分别为（a, 0），（b, 0），（ξ , 0）．于是ξ 表示区间[a, b]上的随机点，ξ 在[a, b]上服从均匀分布，它有分布密度01( )⎪ ⎪⎩⎪ ⎪⎨⎧ < <= −其它a x bϕ x b a ，按数学期望的公式计算可得：2 2( )d 1 d 1x2 a bb axb aE x x x xbaba+=−=−= ∫ = ∫ ∞−∞ξ ϕ ．
解法二：记ξ = AX ,η = XB，由对称性知，随机变量ξ与η 有相同的分布（不管其分布是什么），因而Eξ = Eη ，但ξ +η = AB，由数学期望的性质有Eξ + Eη = AB ，所以2Eξ = AB ，即2E a b +ξ = ．
显然，这是两种思维风格迥然不同的解法，解法一是逻辑性的算法求解，属于算法数学；解法二主要是直觉性的思辨求解，属于思辨数学．这里举例仅仅是为了诠释概率论中思辨数学与算法数学的区别．我们认为，思辨数学就是动态地辩证地把握概念和体味推据（这里把思辨推理的理论依据简称推据），凭借对概念的直觉和数学美的启迪（而非逻辑性的推理），产生直观的解题思路方法或做出合情推理决策．换言之，在直觉领引下，围绕推据，换位思考，思维在运动中觅到解题方法的一套数学知识体系．
德国数学家、数学教育家克莱因（Klein F，1849—1925）指出：“ 数学学科并不是一系列的技巧，这些技巧只不过是它微不足道的方面，它们远不能代表数学，就如同调配颜色远不能当作绘画一样，技巧是将数学的激情、推理、美和深刻的内涵剥落后的产物．” [4]克莱因这一论断，对概率统计教学具有重要的指导意义，把握思辨数学与算法数学的区分，它能为教学提供重心，对于贯彻概率统计思想方法为主线的教学大有裨益．
2 概率统计课程中的思辨数学内涵透析
从思维的逻辑层面透析，概率统计知识内容可以分为两类，大部分是程序性的，有一些则是思辨性的．算法是程序性的，概率统计的演算中充斥着算法；然而，在概率演算题中也会遇到思辨求解问题，虽然这类题数量不多，但解题思维中颇富有理性精神，有着方法论的教育意义．特别值得一提的是，就产生数理统计一些重要方法的思想而言，思辨因素起着关键性的作用，从本质上讲，作为数理统计核心内容的统计推断也隶属于思辨数学的范畴，即思辨数学至少包含思辨求解和思辨推断两大模块．现分述如下：
2.1 思辨求解问题
若对某些概率问题的题设条件进行分析，抓住题目中的关键概念，由对这些概念的直觉和思辨，就能引发解题的思A X B路和方法．具体说来，吃透问题的条件和结论，抓住起决定性作用的思辨因素，运用发散思维或逆向思维，进行类比联想或换位思考推理，进而恰当地引入辅助事件或辅助随机变量，就会建构和洞察到所研究的数学对象中蕴涵着的事件之间或随机变量之间的某种对称性、对等性或等可能性的关系．那么，这些事件、事件关系所遵从的一般的概率法则、统计规律或一些概率原理等就构成解题思维的支点，即推据；思维一旦受到这些推据以及数学中对称美的直觉启发，就会迅速地做出判断，寻到简便的解法，或直接给出答案．
例1 一副纸牌共N 张，其中三张A，随机地洗牌后，从顶上开始一张接一张地翻牌，直到翻到第二张A 出现为止，求翻牌数ξ 的平均值．解：假定从底里开始一张接一张地翻牌，也翻到第二张A 出现为止，翻过的牌数为η ，由对称性（即从顶上开始翻牌与从底里开始翻牌情况是一样的）知，ξ 与η 有相同的分布，因而平均值也就相同，即Eξ = Eη ；又考虑到ξ +η =N+1，所以有Eξ + Eη = N +1，即Eξ = (N +1) / 2．
例2 证明组合公式[5]：kn nk inkiinC C C 2 1 201 +−=Σ = ，k=0, 1, 2,…, 1 2 n + n ．注：本题虽然是确定性数学问题，但是采用概率论想法，构造一个与二项分布有关的辅助概型，作思辨推理，证法则直观生动，简捷奇妙．现给出证明：设1ξ 、2ξ 分别表示甲、乙两人各掷一枚均匀硬币1 n 次、2 n 次所掷出正面的次数，则1ξ 、2ξ 服从二项分布，即：1 ξ~B( 1 n ,21 )， 2ξ ~B( 2 n ,21 )显然1ξ 与2ξ 相互独立．今考察“ 甲、乙两人掷得的点数之和为k” 的概率，即P( 1ξ + 2ξ =k)=P(∪kii k i01 2 { , }=ξ = ξ = − )，注意到事件{ 1ξ =i， 2ξ =k−i}，i=0, 1, 2,…, 1 n + 2 n 两两互不相容，故得P( 1ξ + 2ξ =k)=Σ== = −kiP i k i01 2 (ξ ,ξ )=Σ== = −kiP i P k i01 2 ) ( ) ( ξ ξ =Σ=−kik i nnn inC C02211 )2) . (12(1Σ== − +kik i n nninC C01 21 2 )2( 1 （1）
另一方面，设想甲先掷硬币1 n 次，接着又掷了2 n 次，并设他“ 在总共1 n + 2 n 次投掷中出现k 次正面” 的次数为η ，则η 服从二项分布，即：η ~B( 1 2 n + n ,21 )，P(η =k)= 1 21 2 )2k ( 1 n nn n C ++ （2）
由于“ 观察两枚均匀硬币分别各掷1 n 次和2 n 次，在总共1 2 n + n 次投掷中出现正面的次数” 与“ 观察同一枚均匀硬币连掷1 2 n + n 次出现正面的次数” 这两事件本质上讲是等价的，即1 2 ξ +ξ 与η 同分布；故有（1）等于（2），即：kn nk inkiinC C C 2 1 201 +−=Σ = . k=0,1,2,… 1 2 n + n ．
2.2 思辨推断
2.2.1 最大似然法（以离散型随机变量为例）
设总体ξ 的概率函数为p(x;θ ) ，其中θ 是未知参数．设n X , X , , X 1 2 􀀢 为取自总体ξ 的样本，样本n X , X , , X 1 2 􀀢 的联合概率函数为( ; )1θ Π=nii p x ( ; )1ϑ Π=nii p x ．这里，θ 是常量，n x , x , , x 1 2 􀀢 是变量．籍于辩证逻辑思维，一方面，我们视n x , x , , x 1 2 􀀢 为样本（随机向量）在一次试验中的取值（即一组确定的常数），θ视为变量，则样本的联合分布函数( ; )1θ Π=nii p x 就表征一次试验下的概率值．另一方面，这个概率值随θ 值的变化而变化，不妨记作( , , , ; ) 1 2 θ n L x x 􀀢 x ，简记为L(θ ) （称为似然函数）；即( ) ( ; )1θ θ Π==nii L p x ．直观上看，实际发生的应该是概率最大的事件．这就是最大似然原理（推据）．思辨分析认为，现在样本观测值n x , x , , x 1 2 􀀢 既然已经出现，影响概率值L(θ ) 的是未知参数θ ，按照最大似然原理，θ 的真值应该使这组样本值出现具有最大的概率．因此，求总体参数θ 的最大似然估计值的问题，就是求似然函数L(θ )的最大值点^θ的问题，应在θ 的所有可能取值范围Θ 内，选取使L(θ ) 达到最大值的参数值^θ作为参数θ 的估计值即：( ) ( , , , ; ) max ( , , , ; ) 1 2^1 2^θ θ θn θ n L L x x 􀀢 x L x x 􀀢 x ∈Θ= = ．这就是最大似然估计的基本思想．进而把求^θ的具体方法可归结为算法步骤；（1）建立似然函数；（2）取对数似然函数；（3）令关于θ 的一阶导数为零，得似然方程；（4）解之得参数θ 的最大似然估计^θ．由样本信息估计总体参数是一个归纳过程，它需要执行一套复杂的专门技术程序．然而从根本上看，最大似然法是以最大似然原理为推据的思辨推断模式．在求参数θ 的最大似然估计值时，关键在于理解最大似然原理，因为上述解题步骤并不是总可以施行的．
2.2.2 最小二乘估计
回归分析的基本思想是首先根据样本组的分布特征以及对问题的思辨认识而先验地选定一个模型类型，然后求出（估计出）模型中相应参数．至于对参数的估计，一般采用最大似然估计法，具体到回归分析上叫做最小二乘法．所谓最小二乘法系利用拉格朗日条件极值原理，对所选模型在所给样本下，保证误差最小时，求得参数估计值[6]．说到底它也是一种思辨推断模式．
2.2.3 假设检验
先根据统计目的对总体提出一个统计假设0 H （也叫原假设），然后再由一次抽样的结果来检验这个假设是否可信，从而做出决策：拒绝还是接受这个假设．一方面，我们先假定0 H 是正确的，在此假定下，某事件A出现的概率很小，比如p(A) = 0.05；另一方面，进行一次试验，如果事件A 出现了，就是说在一次试验中就居然发生了小概率事件，那么根据直觉：“ 概率很小的事件在一次试验中一般认为是不会发生的．” （小概率事件原理，即推据）我们不能不怀疑作为小概率事件的前提假设0 H 的正确性，因而做出拒绝0 H 的决策；如果进行一次试验，小概率事件没有出现，则试验结果与假设相符，没有理由拒绝0 H ，因而只好接受0 H ．进一步归结出假设检验的一般步骤（略），即是算法程序，使概念的直观具体性有了一个逻辑思维的图式，如果没有这些逻辑模式，推理将变得没有质量．从根本上看，假设检验法是以小概率事件原理为推据的思辨推断模式．概言之，最大似然估计、最小二乘估计和假设检验本质上都是思辨的产物；从思维方法上讲，它们是思辨数学与算法数学有机的统一体；“ 思辨” 当头，“ 算法” 自然就在其中了．
2.3 概率统计中的思辨数学之特征分析
2.3.1 思辨求解问题与思辨推断的异同
思辨求解问题的推据具有确定性和真理性．比如例1中ξ 与η 的同分布，例2 中事件+ = k 1 2 ξ ξ 与事件η = k 对等．它们都是逻辑意义下的必然结果．因此，思辨求解结论的正确性是勿庸置疑的．然而，思辨推断的推据则具有“ 或然性” ，比如最大似然原理中的用词：“ 应该是”，并非“ 一定是” ；小概率事件原理中的用词“ 一般认为是不会发生” ，但并非“ 绝对不会发生” ，可见思辨推断的结论则是概率逻辑意义下的必然．比如假设检验就是概率性质的反证法．故思辨推断理属合情推理．
思辨求解与思辨推断的共同之处，都是主体基于对概率统计领域的基础知识及其结构的透彻了解，基于对整个问题的理解把握以及已有的知识背景，使主体能跨越逻辑的思考而进入直念（即数学直观，形象观念）[3]，想象和直觉判断，以推据为准绳，迅速解决有关数学问题．
2.3.2 思辨数学与算法数学的比较
由于思辨数学一词是相对于与算法数学的概念提出的，下面我们就其两者进行对比分析：
算法数学有具体化、程序化和机械化特点，又有抽象性、概括性和精确性；思辨数学有抽象化、模式化和直念化特点，又带有假定性、哲理性和启示性．
算法有算理，比如概率的公理、定理、性质等构成概率算法求解的基本算理．算理是算法的理论基础，算法是算理的具体体现；思辨求解和思辨推断有推据，比如对称性、对等性、等可能性、最大似然原理、小概率事件原理等构成概率思辨求解和思辨推断的推据．推据是思辨的理论基础，思辨求解和思辨推断是推据的实际表达．
与算法相比较，算法求解依据逻辑思维、逻辑推理，思维是纵向的、条理化的；思辨数学则依据认识之直觉，思维是跳跃性的、横向的和发散的．思辨求解的推理是非逻辑的；思辨推断是归纳性质的合情推理．
3 提出思辨数学概念对概率统计教学具有的要义
关于思辨数学与算法数学的这种区分，在教学法上具有重要意义．传统的概率教学着眼于概率算法求解，重视运算规则和方法技巧，注重逻辑思维能力培养，忽视或根本不谈概率思辨求解，因为许多概率教材的例题与习题都鲜见思辨求解类的素材；轻视概率统计课程的基本概念教学，因而造成了概率思想、统计认识诸方面知识匮乏和直觉能力的缺失．比如统计推断是数理统计的核心，统计推断是对统计总体的未知数量特征做出概率形式表达的推理，鉴于思维上推与证的不同而分别提出了参数估计与假设检验，由此构成统计推断内容的两面．参数估计是根据样本数据对总体参数所作的“ 猜想” ，而前提是样本与总体的同分布（即样本与总体的同质性）的假定；假设检验即对总体特征做出的一种假设，然后根据样本信息对这一假设的支持程度做出描述．前提同样都是样本与总体的同分布的假定．从哲学层面讲，它们探讨的都是共性与个性的辩证关系．
从战略上看，由样本推断总体具有归纳性质，从战术上看，最大似然估计法与假设检验的解题程式中的样本值n x , x , , x 1 2 􀀢 又非具体的数值，因而具有演绎性质，所以最大似然估计法和假设检验是归纳与演绎的辩证统一．对于统计推断内容的教法，目前多数教学已落入算法化、程式化的俗套，把参数的最大似然估计和假设检验作为一套处理问题的规则或算法来教； 2003 年出版的《Mathematica 基础及数学软件》一书，把参数的最大似然估计和假设检验按算法编程由计算机来做[7]，毫无思想．诚然，数学教育不应该拒绝计算机的渗透，特别是统计推断问题常会涉及一些烦琐的数据统计和计算，借助于计算机可节省大量的时间和精力．但是，数学方法的内核是数学思想，由于意识不到统计推断是思辨数学体系，所以容易忽视产生统计推断方法所依赖的统计推断思想、策略及其思维活动过程的教学，以致学生不能目睹数学过程的形象而生动的性质，体悟不到统计推断方法中蕴涵的概率思想，更达不到思维训练之效．诚然，给学生一个可仿效的范例，就足以教会一个算法，尽管这样的教学，学生学会了套用统计推断的解题步骤，可能会做对若干道数理统计习题，但是对统计推断的思想实质和认识机制理解不深．比如，有学生在用最大似然估计法解题时，先把具体的实测数据带入似然函数的表达式，再作取对数、求导、求极值点的运算；有的学生在假设检验解题中，在写到最后一步：“ 拒绝H0” 或“ 接受H0” 时就搁笔了，把“ 即认为……” 这句关键的陈述语省略了不写．不难想到，他们对样本的二重性以及最大似然法所使用的辩证逻辑思维领悟不透彻；对统计推断所表达的非决定论的因果关系规律认识不到位．一句话，对最大似然估计和假设检验方法的本质思想，缺少深层的思考．传统教学的结果只会给学生留下这样的印象：数理统计是装着一筐子的“ 算法” ．这种只强调算法与规则的数学课程，正如只强调语法和拼写的写作课程一样，都是一种本末倒置．
任何一门数学学科都是由概念和技巧支撑的；若能区别概率统计教材中思辨数学与算法数学，区分或认识思辨数学的结构，这就意味着预先设定将它们作为思维训练来教，其意义在于强调思辨因素，强调概率统计思想方法形成的思维活动的过程，自然也是强调了以概念为本的课程教学模式．
3.1 凸显以概率论为基础的统计思想以深化统计认识
毫无疑问，概率论是统计的运载工具，统计思想是统计方法的灵魂．按照思辨数学模式讲授统计推断，能够更好地揭示和表达统计思想，深化统计认识．因为贯彻三段论即：“ 在某种假定（假设）……之下，一方面……另一方面……，依推据则有……” 的思辨推断模式，势必强调深刻理解概念和推据，充分展示换位思考中的思辨原理与辩证思维方法，这就凸显了以概率论为基础的统计推断思想．比如假设检验，如果统计假设被理解为构成概率计算的基础的话，那么，看来极不可能的某个事件发生了，那就有悖于常理，于是统计假设认为是小概率的事件的发生，将是一个反对该假设的证据，并且这种概率越小，其证据越显得强有力．又由于在统计检验的逻辑中，前提与结论之间的逻辑蕴涵不再是必然的，而是一种概率蕴涵．换句话说，概率解释中的解释前提是假说，所以得到的逻辑必然的推论是可能的概率解释．而在概率解释中，对个别事实解释的概率性与统计规律在每一个别情况下无法实现这一规律联系着，因为统计规律是大数定律，它仅在大量观察或多次试验中才能出现．因此在统计规律上所作的关于个别事实的结论，只能解释这一事实的可能性，而不是它的必然性．因此，“ 接受”中的“ 纳伪” 和“ 拒绝” 中的“ 弃真” 这两类错误不可避免的发生充分说明了这一点．
3.2 强调数学思辨对培育直觉能力具有独特功效
数学强调思辨性．弗赖登塔尔指出：“ 算法是好的，数学中的常规也是不可避免的．” [1]诚然，对数学来说算法具有极大的重要性，代数、微积分、概率中都有算法．当前教学的强烈趋势就是盛行算法化[1]．将一个领域算法化是更容易超越该领域的一种方式[1]．然而，现代数学之不同于古老数学，在于它强调的是思辨的因素而不是算法[1]．最引人注目的新生事物，也就是引起现代化过程发生的事物——集合论、抽象代数、分析学、拓扑——都是思辨的产物．它们是冲破算法的僵化的外壳喷射而出的[1]．同时弗赖登塔尔还指出：算法数学与思辨数学的关系是辩证的，不能把它们看作是新与旧、高与低的对立．从培养数学思维能力的层面看，算法数学与思辨数学好比“ 算术和几何正是作为互相的直接对立面在智力上发展起来的，但这并不表明因为喜欢其中一个就应该把另一个贬低．相反，教学应该将这种发展继续下去” [8]，教学应该像重视算法数学一样重视思辨数学，但问题在于目前的数学教育现状，人们有些重算法而轻思辨的倾向．概率统计的思辨求解和思辨推断解决问题的重要策略和特点是：对具体问题作具体分析，以已有知识和经验为背景，在直觉领引下发掘问题中蕴含着的思辨因素，寻找到推据或生成推据，以推据为支点，凭借直觉展开思辨推算或推断．其思维方式是直觉的．从心理学视角看，思辨数学是直觉思辨的产物，它是思维对那种隐藏于数学对象深层的数学事物关系间的和谐性与规律性的感受，正是这种感受把知识空间投影和净化成那幅心智图像．显意识和潜意识沟通形成顿悟，进而达到直觉思维的目标．
因此，强调思辨数学，必然注重培育直觉能力．思辨求解不仅能增加和丰富学生概率解题的方法策略，而且对其直觉思维乃至创新能力的培养大有裨益．克莱因说过：“ 在某种意义上讲，数学的进展主要归功于那些以直觉能力著称的人多于那些以严谨证明著称的人．” [9]
3.3 透过思辨求解法感悟数学方法的奇异美
思辨求解法的产生离不开直觉，数学直觉本质上就是“ 美的意识或美感” ．美的意识力或鉴赏能力越强，发现和辨认隐蔽的和谐关系的直觉能力也就越强．数学审美意识是产生数学直觉、爆发数学灵感的“ 刺激素” ．
思辨求解法的思想性强，其方法直观，运算简捷，甚至用不着计算就能直接获得答案．从思辨求解法产生的心理机制来看，其思维空间是动态的；每一个具体的思辨性解法，无不联系着主体解题的思维运作：数形结合，动静联想，等价语意转换，整体性把握思考，以及受到数学美的启迪等．它把数学表达式的对称美、数学关系的和谐美、数学方法的简洁美、数学思想的思辨美发挥的淋漓尽致．奇妙的解法闪烁着智慧之光，常给人以精神上的愉悦和满足．
“ 奇异性与思辨性是密切相关的，奇异性的结果会导致数学的新进展，而思辨能引起人们的思索，调动人们的想象，帮助人们对未知事物作深入地理解、把握和预见，促使人们去追求数学中内在旋律．” [10]即追求数学美的旋律．
［参 考 文 献］
[1] 弗赖登塔尔．作为教育任务的数学[M]．陈昌平，唐瑞芬译．上海：上海教育出版社，1995．
[2] Kenneth H R．初等数论及其应用[M]．夏鸿刚译．北京：机械工业出版社，2009．
[3] 张奠宙，戴再平，唐瑞芬，等．数学教育研究导引[M]．南京：江苏教育出版社，1998．
[4] 刘培杰．数学奥林匹克与数学文化[M]．哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2008．
[5] 蔺云．用随机方法证明一类组合恒等式[J]．高等数学研究，2003，（2）：32．
[6] 高隆昌．数学及其应用[M]．北京：高等教育出版社，2001．
[7] 阳明盛，林建华．Mathematica 基础及数学软件[M]．大连：大连理工大学出版社，2003．
[8] 弗赖登塔尔．数学教育再探：在中国的讲学[M]．刘意竹，杨刚译．上海：上海教育出版社，1999．
[9] 陈鼎兴．数学思维与方法[M]．南京：东南大学出版，2001．
[10] 徐本顺，殷啟正．数学中的美学方法[M]．南京：江苏教育出版社，1990．