摘要：中学生数学探究能力的结构模型是“ 五维二阶” 结构模型．中学生数学探究能力由数学问题提出能力、数学猜想能力、数学实验能力、数学证明能力以及数学拓展与推广能力所构成．中学生数学探究能力的“ 五维二阶” 结构模型的特点有：动态性、相关性、顺序性、自调性和可控性．
关键词：数学探究能力；探索性因素分析；验证性因素分析；结构模型
克鲁捷斯基曾经提到：“ 对各种现象进行研究的真正科学途径，是把它们分解成一些比较简单的成分（因素）．同样，对于研究一种复杂的心理现象所进行的分析综合的途径，要求首先剖析它的结构，分解出它的成分（因素）．有必要研究复杂现象的结构，而能力就是这样一种复杂的现象．” [1]要研究中学生的数学学科探究能力，就有必要研究此能力的结构以及相应的因素．
1 数学探究能力结构模型的假设
1.1 数学探究能力的因素分析
1.1.1 理论检索
在已有对探究能力结构的研究中，有许多的研究从不同的角度和侧面对探究进行了分析．我们在建立数学探究能力模型时充分参考和借鉴了这些研究成果，同时结合中学生心理的发展特点，吸取适合中学生阶段心理和行为特征的内容，剔除不符合的内容．形成了一个初始的理论认识，从而为建立数学探究能力模型提供参照．
1.1.2 教师访谈
为了能充分了解学生探究能力的特征，我们对中学教师进行了访谈，请他们讲述学生在数学探究活动中的主要表现．在汇总观察记录和访谈资料的基础上，从总体上进行主题词的抽取，找出反映学生数学探究能力的词汇，共获取相关表征词汇103 条．在此基础上，我们进行了整理，将反映相似内容的表述进行归类，在这一过程中删去重复和无效的词汇58 条，剩余的45 条词汇作为问卷的各题项的关键词．
1.1.3 探索性因素分析
（1）选择被试与制作问卷．选取锦州某中学初三年级的学生作为被试．具体信息结果与分析见表1．
表1 被试的基本信息表年级 初 三班级 1 2 3 4 合计人数 68 63 72 70 273本研究使用自制的《中学生数学学科探究能力调查问卷》考察学生的数学探究能力．在预测问卷的编制和修订上，根据研究目的、相关文献数据与研究结构等方面加以考虑，根据研究的实际情况，加以修改、增删，问卷内容是依据研究结构的层面编制的．
量表采用的是李克特式量表法，量表填答方式采取5 点量表法．因为“ 在大多数的情况下，5 点量表（Points）是最可靠的，选项超过5 点，一般人难有足够的辨别力” ，且“ 5 点量表正好可以表示温和意见与强烈意见之间的区别” [2]．预测题项数为45 题，正式题项数为13 题，满足“ 预试题的项数最好是所需测试题项数的3~4 倍”的原则[2]．
（2）预测与校正问卷．
从锦州市某中学初三年级随机抽取一个班级共50 名学生进行预测．问卷回收后，进行了一份一份检查筛选，有效问卷47 份，有效率94%．对筛选后的问卷给予编号，将测验数据输入SPSS12.0 处理系统，进行T-检验．45 个题目的鉴别度均达显著，从45 题项中选出CR 值最显著的13 个题目，作为正式问卷的题项．
（3）正式施测与整理问卷．
让班主任对其班级的学生进行测验．在测验过程中要求教师督促学生认真填写问卷．回收后，将经筛选的有效问卷（N=257）输入计算机建立数据库，采用SPSS12.0 软件对数据进行初步分析．
第一，问卷的信效度检验．
这里的效度采用的是“ 专家效度” ，根据“ 数学探究能力问卷” 自编“ ‘ 数学探究能力问卷效度’ 量化分析问卷” ，请专家填写，结果表明“ 数学探究能力问卷” 的效度达88.4%，证明此问卷达到较高的效度．预测问卷的α 信度系数为0.832 8（见表2），由此可以看出，此问卷的信度颇佳．KMO 检验结果（见图1）表明此问卷适合进行因素分析（在KMO 检验中，当KMO 值越大时，表示变量间的共同因素越多，适合进行因素分析．这里的KMO 值为0.850，表示适合进行因素分析．而Barlett’s 球形检验也很显著）．然后进行探索性因素分析，初步确定中学生数学探究能力的因素以及结构构成．
第二，因素分析．
对第一组做EFA所得的总解释方差如图2．根据Kaiser（1960）的观点，保留特征值大于1 的因素，这样能抽取3个公共因子；按照累计贡献率达到75%的标准来抽取，能抽取6 个因子．于是，这里提出4 种假设，即因子数分别为3~6 个的因素模型，然后在下一节做CFA（验证性因素分析），看哪种模型拟合程度最高，则选择哪种模型．经过方差极大正交旋转后，各个分测验在每个因素上的负荷有了明显差异，中等负荷显著减少．为了便于识别主因素，对同一主因素有较大的负荷的变量（分测验）分组．为此把绝对值小于0.5 的因素负荷删去，则可以从旋转后的因素负荷矩阵（如图3）清楚地看到下列结果：主因素1 在分测验VAR00001，VAR000002，VAR00009 上具有较大负荷，3 个分测验所考查的内容是观察、数学概括归纳思维、数学语言表达，因此主因素1 可定名为数学问题提出能力．主因素2 在分测验VAR00003、VAR00008 和VAR00010 上表现出高负荷，所考查的知识是直觉、类比、模式识别，这与数学猜想能力密切相关，故主因素2 可定名为数学猜想能力．而因素3 在分测验VAR00005、VAR00011 及VAR00012 上具有高负荷，这些联想、数学建模、数学变换的能力，与学生数学实验能力密切相关，故定名为数学实验能力．主因素4 在分测验VAR00004、VAR00006 上表现出较高负荷，所考查的内容是第四类包括逻辑思维、连续推理，这些内容都与数学证明能力密切相关，故可定名为数学证明能力．主因素5 在分测验VAR00007、VAR00013 上表现出高负荷，所考查的内容是学生的发散思维、批判性思维．这与学生的数学拓展与推广能力相关，故定名为数学拓展与推广能力．中学生的数学探究能力主要表现在数学问题提出能力、数学猜想能力、数学实验能力、数学证明能力与数学拓展与推广能力5 个方面，而5 因素结构模型满足前面3~6 因素模型的假设，于是假定数学探究能力的5 因素模型是较好的模拟数学探究能力的模型．图2 总解释方差图3 因素矩阵
1.2 构想模型的拟合度本研究通过验证性因素分析的方法，利用Lisrel8.0 软件对数学探究能力的4 种模型理论模型的合理性进行验证，结果见表3．
这里主要用以下指标作为拟合度值：χ 2 / df 、GFI、NFI、NNFI、CFI、IFI、RMR．GFI、NFI、NNFI、CFI、IFI 的取值区间为(0, 1)，接近0 表示拟合极差，接近1 表示拟合良好．由于卡方值χ 2 与样本大小相关联，它通常不能很好地判定模型的拟合度，为减小样本大小对拟合检验的影响，考察卡方值与自由度之比，即χ 2 / df ．其值越小越好，在实际研究中，当χ 2 / df 小于5时，就认为模型的拟合度比较好．
根据以上指标要求，从表7 中可以得出，数学探究能力5 维结构模型的5 个拟合度（GFI、NFI、NNFI 、CFI、IFI）指数都在0.95以上；χ 2 / df 为1.31，也较小；RMR 为0.021，也较其它模型小．说明本研究的数据与5 维结构模型拟合得很好，我们认为中学生数学能力结构的最佳模型应该为5因素模型．这一点说明数学探究能力5 维结构模型是合理的、可以接受的模型．同时也说明数学探究能力有较高的结构效度．
2 中学生数学探究能力的“五维二阶”结构模型
2.1 各观察变量在5 个因素上的归类
根据数学探究能力问卷的各个问题涉及到的任务，可以把它们分为5 类测验：
第一类包括观察、数学概括归纳思维、数学语言表达；第二类包括直觉、类比、模式识别；第三类包括联想、数学建模、变换；第四类包括逻辑思维、连续推理；第五类包括发散思维、批判性思维．
2.2 构建中学生数学探究能力的“五维二阶”结构模型
我们根据对抽取的5 个因素所来源的分测验进行分析，得出结论：因素1 上的分测验主要测查了学生数学问题提出的能力；因素2 上的分测验主要考查了学生的数学猜想的能力；因素3 上的分测验主要考查了学生的数学实验能力；因素4 上的分测验主要考查了学生的数学证明的能力；因素5上的分测验主要考察学生的数学拓展与推广能力的．据此，可以进一步建立中学生数学探究能力的“ 五维二阶” 的结构模型，见图4．
3 讨 论
这个数学探究的基本能力包括5 个维度：问题提出的能力、数学猜想的能力、数学实验的能力、数学证明能力以及数学拓展与推广能力，这个模型具备如下5 个特点：
（1）数学探究能力结构模型的动态性．数学探究活动作为一个系统发挥作用时是一个动态的过程．学生的数学探究能力是随着探究活动次数的增多而不断发展的、变化的．因此，数学探究能力结构模型具备动态性．
（2）数学探究能力结构模型的相关性．数学探究活动中的各因素是互相联系、互相作用以及互相协调、共同作用的，所以各因素之间具有相关性特征．
（3）数学探究能力结构模型的顺序性．数学探究活动是一个有顺序的过程，虽然这个过程的具体细节并不能被老师事先规定，但是教师在整个过程中的引导作用就是要求教师应在整体上把握整个探究过程的脉络，从而有效地进行指导．
（4）数学探究能力结构模型的自调性．在数学探究活动中，学生会自动调节其数学探究能力的各个部分的能力从而完成整个数学探究活动．
（5）数学探究活动结构模型的可控性．只要教师能够准备充分，有较高的数学知识水平，在整个数学探究过程，不仅能够起到很好的引导作用，而且也能应对突发事件，从而很好地控制整个探究过程．这5 个特点从不同侧面反映了数学探究能力结构的特点，它们是互相联系、互相影响的，不能割裂地看待．图4 中学生数学探究能力的“五维二阶”结构模型数学探究能力的结构是测量学生数学探究能力的依据，是探讨数学探究能力发展规律的前提条件．这里运用因素分析的方法对学生的数学探究能力的结构进行了探讨．研究表明，中学生的数学探究能力的5 维结构模型是合理的、可以接受的理论假设，本研究的调查数据，与数学探究能力的5 维结构模型拟合得很好，证明数学探究能力的结构是由数学问题提出能力、数学猜想能力、数学实验能力、数学证明能力以及数学拓展与推广能力构成的，构成数学探究能力的5 个能力模块分别负责不同的数学探究任务，并进而得到了中学生的数学探究能力的结构模型是“ 五维二阶” 结构模型的结论．
［参 考 文 献］
[1] 克鲁捷斯基．中小学数学能力心理学[M]．李伯黍译．上海：上海教育出版社，1993．
[2] 吴明隆．SPSS 统计应用实务[M]．北京：中国铁道出版社，2000．
 [3] 松村明．大辞林[M]．东京：三省堂，1989．
[4] 张奠宙，赵小平．当心“ 去数学化” [J]．数学教学，2005，（6）：19．
[5] 钟启泉，崔允漷，张华．为了中华民族的复兴为了每位学生的发展《基础教育课程改革纲要（试行）》解读[M]．上海：华东师范大学出版社，2001．
[6] 靳玉乐．把教材作为范例[J]．湖南教育，2004，（3）：1．
[7] 郑毓信．关于小学数学教材建设的若干想法[J]．课程•教材•教法，2006，（7）：35．