摘要：探讨数学史融入教学的模式是近年来HPM 研究中的重要问题，研究者在数学教育的整体框架下，综合考虑数学史与教学要素的关系，建构了许多融入模式，如诠释学模式、资源联络模式、历史—心理的认识论模式、三面向模式、“ 为何—如何” 模式．这些模式对于我国的HPM 本土化建设有多方面的启示：教师是数学史融入的主体；课程目标是数学史融入的方向；多角度分析是数学史融入的关键；数学史资源急待开发；HPM 应成为教师教育的重要内容．
关键词：HPM；融入；模式；启示
1 导 言
在国际HPM（History and Pedadogy of Mathematics）成立以前，人们就关注了数学史对数学教育中的积极价值，许多数学家、数学史家和数学教育家都提倡在数学教学中直接地或间接地使用数学史，并从经验层面描述了数学史走向数学教学的形式和方法．1972 年HPM 成立以后，数学史助益数学教学的研究成了HPM 研究的重要领域，教育取向的数学史研究、基于历史发生原理的教学法研究以及数学史融入课堂的教学实验研究都成了热门话题．2000 年以来，数学史融入数学教学一直是历届HPM 大会的主题之一，研究者不仅仅在经验层面上描述数学史的融入，更多地在理论层面和理论指导实践的层面上研究了有关的历史模块、课堂设计、教学案例和课堂实验，研究成果对教学实践也有了更强的指导性和适用性．
但是，对于数学教师来说，数学史融入数学教学仍然不是一件容易的事情．有启发的思想并不能帮助教师解决如何构造教学环节的实践问题[1]．实际上，教学是一个系统工程，要想实现数学史助益数学教学的目的，需要把数学史放在数学教育的整体框架下，综合考虑数学史与诸多教学要素的关系，恰当地融入而不是简单的加入．在这样的背景下，数学史融入教学的模式研究就成了一个特别值得关注的课题．
2 数学史融入数学教学的模式
2.1 双循环的诠释学模式
1994 年，德国教授H. N. Jahnke 在第18 届PME 大会报告中指出：数学是一种文化，回归源头能使我们获得对思想过程的重要认识，更加清晰的理解现在的问题[2]．他认为，融入数学史的重要性不是为了激发学习动机等外在目的，而是把数学发展中同时期的和不同时期的（synchronous anddiachronous）数学文化联系起来，使数学史成为支持教与学的必要组成部分．同时期的数学文化含有课堂对话和课堂活动的自然情景，不同时期的数学文化则联系着数学的生长，教师通过对数学假设、理论、特征的理解、诠释和融入，让学生在一定的社会文化背景下掌握数学知识的建构意义、思维模式以及发生发展的形式，不仅实现数学认知的发展，同时也是更重要的，实现元数学认识的发展．
在实际教学设计中，教师不仅要考虑数学史，还要考虑其它教学要素，如教学内容、教科书、课程标准、数学理论等．可以向自己提出类似这样的问题：有没有必要引入数学史？和教学内容的内在联系在哪里？数学史对学生认知的贡献在哪里？如何表述它们？这些问题需要教师做出自己的诠释和理解，然后才能进入教学过程．因此，数学史融入是数学教师双循环诠释过程的一部分．图1 是修改后的双循环模型[3]．
在双循环诠释学模型中，T–C1–I 循环是一般数学教师所经历的思考过程，当需要数学史融入时，教师必须经历C2 循环．在C2 循环中，教师有两个方面的工作：一是领会古代数学家的解释，经过诠释后呈现于教学之中；二是考虑C1 和C2 间的联系，避免陷入琐碎的历史细节，影响数学知识的教学目标．在C1 和C2 间的联系上，教师可以选择不同的路径．例如T–C1–I–C2–I–C1–I 的路径是从教科书入手，寻求数学史，然后思考C1 和C2 间的联系；T–C2–I–C1–I–C2–I的路径是从数学史开始，思考融入教学的合适角度，然后寻找C1 和C2 间的联系．
诠释学模式以社会建构主义的知识教学为目标，重视数学的文化意义，关心数学史与数学教学内容的关系，把数学史作为意义学习的支撑，具体给出了数学史融入的途径和方法，对指导教学实践具有很好的参考价值．
2.2 资源联络融入模式
1998 年，为了深化HPM 实践，推动相关的学术与教育资源整合， 在ICMI （ International Commission onMathematical Instruction）的支持下以色列的A.Arcavi 博士和希腊的C.Tzanakis 副教授牵头编撰了“ 数学史融入数学教室之方式的解析性综述” 的主題报告，后被收录在ICMI 研究报告中，台湾师范大学洪万生教授也是参与者之一[3~4]．该报告提出了一个基于数学史资源的融入模式，如图2 所示．无论是原始文献、二手材料，还是由历史启发表述的教学材料，都是为数学教学活动服务的．数学史融入可以是直接的，也可以是间接的，总的来说表现在3 个方面：
（1）引入直接的数学史料．这种形式是正常教学的辅助形式，不直接改变本来的教学，旨在提供历史资源——单独的史实或完整的数学史．
（2）历史启发的教学．这种形式的认识基础是学习只有在充分的动机和心智发展的恰当时机下才会进行，教学中重要的不是如何使用理论和概念，而是提供有关“ 为什么” 的解释和引导．这种模式的教学有4 个步骤：① 教师掌握有关主题的历史演进知识；② 在此基础上甄别历史演进的关键步骤，如关键的思想、困难和问题等；③ 改造这些关键步骤，使之便于在课堂上使用；④ 给改造后的步骤配备难度递增的系列问题．在4 个步骤中，教师和学生都要很好地利用原始文献和二手材料．第②、③步要求教师熟悉数学发展中的困难以及学生理解上的障碍，在历史的启发下选择问题、激发动机，为新知识的学习铺平道路．在第③步中，数学史融入有两种方式：显性的融入按照历史事件组织教学，通过描述不同时期的数学，显示数学的演化和发展阶段，把学生引导到数学知识的现代形式上来；隐性的融入不必要考虑历史顺序，目标始终放在现代形式的数学理解上，对数学史材料的考察也只要运用现代的概念和逻辑．
（3）培养数学意识．数学意识包括内在的和外在的两个方面．对于内在的方面，数学史展示并解析了数学活动的重要内容，如概念、动机、问题在数学发展中的角色，数学对象和形式的演变，悖论、矛盾、直觉、猜想、一般化、形式化对数学的作用等．对于外在的方面，数学史能够澄清人们孤立看待数学的误解，展现数学与哲学、艺术、社会、文化的关系等．
资源联络模式细分了数学史的3 类资源，对于指导教师使用数学史材料大有好处，对数学史资源的建设也有指导意义．在如何使用3 类资源上，该模式不仅关注数学史对于知识理解的重要性，而且更加强调数学史对于激发动机和优化教学过程的重要性，其中基于历史的启发式教学，显性融入和隐性融入的形式，都是数学教师在教学设计中必须深入思考的问题．另外该模式还关心数学史的文化价值，体现了数学的教育性，很值得借鉴．
2.3 历史—心理的认识论模式
加拿大的L.Radford 教授主要从事数学心理学、符号学、认识论和数学史研究，2000 年由他牵头完成的一篇ICMI报告认为，数学史是理解数学思维形成过程的有益资源，一个重要研究领域是学生数学理解的心理过程和数学思维的历史结构之间的关系[4]．他们主张在认识论的理论框架下理清数学知识的心理过程和历史过程，从而在方法论意义上指导教学活动的设计，如图3 所示．
该模式的认识论基础是历史发生原理和心理发展理论．前者揭示了个体发展和知识同化的机制，后者肯定了生物学过程和历史文化过程对个体掌握科学概念和科学方法的特殊作用．尽管两个理论有所不同，但是它们都揭示了个体发展和历史发展的关系，以及在教学上获得一个清晰的认识论理解的重要性．
在认识论框架指导下，教师要做好3 方面的工作：一是研究某一特殊数学知识出现的历史条件（历史领域），如当时的认识困难、社会文化观念、语言特征，数学知识的结构与体系特点，数学思维的历史由因等；二是分析学生思维的形式（心理领域），如预测认知困难，确定学习的文化起点，探讨学习过程等；三是把这些条件改造并融入到课堂活动中（方法领域），如分析历史情境与课堂情境的异同，选择适当的教学策略，采用恰当的元水平指导等．
观点与回应游戏（voices and echoes games）是该模式指导下的一个具体的教学方法，已被证实普遍适用于中小学和不同社会文化背景的学生．这种游戏的一般做法是：① 从数学史中引入关于某个问题的“ 观点” （voice），这个观点在数学发展史上应有一定认识跨度，通常与直觉相悖，引入的视角和方法应符合历史文化的传统；② 与历史人物展开虚拟的对话（echoes），学生用自己的方式发表意见，随着互动的展开、情境的改变，学生对该问题的认识也在不断地改变；③ 获得观点认同（resonance），学生运用这种观点重新审察和表征自己的知识经验．其中在第二步，教师可以引导学生开展多种多样的对话，这些对话实际上就是教师对教学过程和课堂活动的设计．
认识论模式立足于个体和人类的认识过程分析，很好地处理了数学的历史形态和教学形态之间的关系，使数学史成为数学教学的真正的有机成分，对于优化教学过程、提高学习质量是具有科学意义的．
2.4 逻辑—历史—认知三面向的融入模式
2005 年，台北成功高中教师、台湾师范大学博士苏意雯在洪万生教授的指导下，借鉴自我诠释模式和认识论模式的研究成果，以课堂教学为中心，在行动研究的基础上，形成了以逻辑、历史和认知三面向为主要内容的教学模式，如图4 所示[6~8]．
图4 逻辑与历史及认知三面向模型
该模式强调，融入数学史的目的是帮助教师教数学，在学习单设计中要考虑数学知识的逻辑、历史和学生认知3个方面，使学习单的内容和形式既能适应学生的认知水平和课程目标，又能提高学习的兴趣、增强体验、发展能力．逻辑方面的考虑包括：课程单元的教学目标，教科书的编排方式，教师手册中的相关说明；历史方面的考虑包括：数学家传记，数学思想的重要发展，著名定理的来源剖析，证明与解题的思维，历史文本的呈现，科普书籍介绍等；学生认知方面的考虑包括：学生认知发展的研究成果，本单元认知障碍的案例，教师教学中关于学生学习的经验等．设计学习单的具体过程是：① 体会教科书编者、课程标准与教科书内容；② 体会古代数学家、数学知识、数学理论之精神；③ 自我诠释，考虑学生需求编制学习单；④ 进行课堂实践．三面向模式总结、借鉴了前人的研究经验，把数学知识的逻辑分析、历史分析和心理分析结合起来，通过学习单的设计和实施，实现数学史的有机融入，对一线教师具有非常现实的指导价值．该模式还把课堂教学和教师专业发展联系起来，是一个可持续发展的实践模式．
2.5 “为何—如何”组合模式
2009 年，丹麦学者U.T.Jankvist 在研究HPM 经验后认为，在教学中使用数学史有必要分清“ 为何” 使用和“ 如何”使用（Whys and Hows）两类问题[9]．“ 为何” 使用是关于价值取向的讨论，分为工具策略和目的策略．工具策略是为了支持现实的教与学，如激发动机、维持兴趣、表达人文关怀、克服学习困难、提供看待数学的不同观点等．目的策略主张学习数学史有其自在的目的，要让学生了解数学发展的一般规律，了解数学发生发展的时间、空间、环境、文化、动力等，这是提高数学素质的重要内容．目的策略主要关注数学的元知识，而工具策略则更加关注数学的内部知识．“ 如何” 使用是关于方法取向的讨论，分为3 种：讲述法、模块法和历史启发法．讲述法就是在教学中补充一些历史信息，如介绍基本史实、引入历史文献，运用数学史知识设计开场白和结束语等．模块法就是设计一些与课程密切相关的数学史专题，规模可大可小，通常以案例的形式呈现，如Katz 等人编写的11 个数学史模块[10]．而历史启发法是间接使用数学史的方法，比如经常提到的发生教学法．策略和方法都是为教学目标服务的，不同的策略可以选取不同的方法．图5 显示了两种策略和3 种方法之间可能的6 种组合．图5 “为何—如何”组合模型
在具体的教学设计中，教师要深入思考“ 为何” 与“ 如何” 之间的关系，重点是以下两点：① 针对既定的教学内容和教学条件，弄清楚为什么使用数学史；② 根据策略要求选择合适的方法．例如在工具策略下，为了激发动机和情感可以选择讲述法，为了发展数学认知，在时间、条件允许的情况下可以选择模块法，为了理解数学演化，可以选择历史启发法；如果是目的策略，那么最好的选择应是模块法，因为模块能深化数学的元认识．
“ 为何—如何” 模式鲜明地提出了数学史融入的价值和方法这两个基本的问题，具体分析了融入的策略和方法以及两者之间的关系，在综合考虑教学目标和学生水平的基础上，提供了6 种可能的融入途径，对于搞好教学设计、全面发挥数学史的教学功能具有非常现实的指导意义．另外，该模式关于工具策略和目的策略的讨论，对于数学史资源的开发很有启发，关于“ 为何” 和“ 如何” 的论述，也为教学评价提供了依据，这是Jankvist 没有意识到的．
3 启 示
综上可知，数学史融入数学教学的国际研究已经相当广泛和深入，各种融入模式对我们开展HPM 实践都有很好的、甚至是直接的参考和借鉴价值．就HPM 的本土化建设而言，这些模式给我们以下启示：
（1）教师是数学史融入的主体．数学史融入的过程是数学史从历史形态走向教学形态的过程，实际上也是教师诠释、加工、再创造数学史的过程．要想真正实现数学史助益数学教学的目的，教师必须充分认识数学史的教育价值，准确理解数学史的知识意义和方法意义，合理地选择适应学生学习需要的历史材料和使用方法．因此，教师既是融入的认识主体，也是融入的实践主体，教师的主体地位和作用是一切HPM 研究和实践必须充分注意的．
（2）课程目标是数学史融入的方向．在教学中融入数学史，不是为了让学生掌握数学史，而是为了实现课程目标（包括提高学生数学修养的目标）．数学史的角色是辅助和支持，无论直接使用还是间接使用，都要服务于课程目标，切不可喧宾夺主、本末倒置．因此，教学史融入的实践和研究要紧密联系数学课程，抽象地、学究式地讨论数学史融入，不仅没有现实意义，也容易使融入迷失方向．
（3）多角度分析是数学史融入的关键．数学教学是一个复杂的系统，任何一个教学要素都可能影响教学效果．在教学中融入数学史，不仅要考虑数学史资源的内部关系，还要考虑数学史与课程要求、教科书、学生的认知结构等要素的关系以及融入的价值取向和使用方法．只有多角度分析数学史的教学意义，提高教学设计和课堂活动的效益，才能真正实现数学史融入的教学价值．
（4）数学史资源急待开发．便于教学使用的数学史资源是HPM 实践的基础，但无论是国外还是国内，都显示出这类资源的匮乏，这似乎已成为数学史融入的共同瓶颈．数学教师不可能做“ 无米之炊” ，而依靠教师来开发这些资源又有很大的局限性．所以，当务之急是数学史家、数学教育家、HPM 研究者和数学教师主动联合起来，共同努力，尽快开发出适合我国国情的数学史资源库．当然，作为权宜之计，也可以首先组织翻译一些较好的国外资料．
（5）HPM 应成为教师教育的重要内容．数学史融入不仅是助益教学的方法，也是很有特色的教学模式，同时还是数学教师专业发展的一个途径，HPM 理应成为数学教师教育的重要内容．我们的教师教育不太重视数学史，教师的职后培训更是缺少数学史，导致了教师的数学史素养偏低，普遍缺少应用数学史的自觉意识．因此，有必要在教师教育或职后培训中，加强数学史教育，推广HPM 的研究成果，开展基于数学史的教学研究，以此促进教师的数学素养和教学能力的进一步提高．
［参 考 文 献］
[1] Iris Gulikers, Klaske Blom. ‘Ahistorical Angle’, a Survey of Recent Literature on the Use And Value of History inGeometrical Education [J]. Educational Studies in Mathematics, 2001, (47): 223–258.
[2] Jahnke H N. The Historical Dimension of Mathematical Understanding: Objectifying the Subjective [A]. In: J P Ponte, JF Matos. Proceedings of the 18th International Conference for the Psychology of Mathematics Education [C]. Lisbon:University of Lisbon, 1994.
[3] 张维忠，汪晓勤．文化传统与数学教育现代化[M]．北京：北京大学出版社，2006．
[4] John Fauvel, Jan van Maanen. History in Mathematics Education: the ICMI Study [M]. Springer Netherlands, 2000.
[5] 洪万生．数学史与数学的教与学[J]．HPM 通讯，1999，2（4）：1–3．
[6] 苏意雯．数学史研究2[EB/OL]．http://www.gsme.ncyu.edu.tw/~binruei/mpm．
[7] 苏意雯．数学教师专业发展的一个面向：数学史融入数学教学之实作与研究[J]．HPM 通讯，2005，8（5）：1–2．
[8] Yi-Wen Su. Mathematics Teachers’ Professional Development: Integrating History of Mathematics into Teaching [J].HPM News, 2005, (59): 5–6.
[9] Uffe Thomas Jankvist. A Categorization of the “Whys” and “Hows” of Using History in Mathematics Education [J].Educ Stud Math, 2009, (71): 235–261.
[10] Yannis Thomaidis. Good News from the Americas’ Section of HPM [J]. HPM News, 2004, (57): 6–8．