摘要：传统的数学解答题的评分，对解题者的数学素养和创造性不能全面评价．数学解题过程由问题信息、问题空间、策略方法、推理运算和评价反思所构成，解答题的评分不应以预先设定的步骤为标准，应从问题空间、方法策略和推理运算几方面有侧重给予评价，给出分值，并对有创新意义的解法给予加分，以适应数学教育改革的需要．
关键词：数学问题；评分；节点；问题空间
数学解答题评分的合理性和科学性是数学教育的重要问题，很大程度上决定着数学教学的内容和方式．长期以来，相对于数学课程的理念、内容、学习方式和教学方式的改革，作为数学学习评价主要形式的数学测试的评分方式却没有实质性的改变．
1 “节点”理论
传统的解答题评分以“ 步骤” 给分．文[1]从“ 不同的评分者在主观题的评阅中也能评出相同的分数” 这样的目的出发，提出了“ 节点” 理论，认为一个数学问题在从初始状态到达目标状态的变换过程中，有些子目标是必经之点，称为“ 节点” ．评分者应根据预先确定的“ 节点” 和相应的分值进行评分．
这在一定程度上减少了评分的主观性和随意性，特别是对于类似“ 解方程” 这样形式化的数学题，是比较合理的．但是，随着数学教育的改革发展，数学题型的拓宽，这种程式化的评分，并不能对被试者数学思维的灵活性与创造性做出正确的评价．
首先，所谓“ 节点” 和相应的分值是命题者或评阅者预设的．前提是，解决该问题必须经过这些“ 节点” ．但事实上，解题途径往往是多样的，如果解题者实施了另外的解决途径，绕过了预设的“ 节点” 或根本不经过“ 节点” ，这种评分标准就失去了意义．其次，如果把解决一个数学问题作为完成一项任务，其完成情况是有层次性的：不能完成、错误完成、部分完成、完成、创造性完成．目前的这种“ 节点” 式评分，可以对前4 个层次的解题情况做出定量的评价，但没有对创造性解决问题给予足够的评价．
仍以文[1]的例题“ 甲、乙二人骑自行车从相距44 km的两地相向而行，2 h 后相遇．每走1 km 甲比乙多用1 min，求甲、乙二人的速度” 为例，若解题者采用下面的解答：设甲2 h走了x km，则乙走同样x km用了(120 − x)min ，乙的速度为xx120 −．于是2 441202+ =−xxx ，解得x =20．所以甲速度为10 km/h，乙速度为12 km/h．或者，解题者估计甲2 h 走了20 km，则乙100 min 走了20 km，剩余20 分钟恰走了4 km．所以甲速度为10 km/h，乙速度为12 km/h．前者可以对每一步给出一定的分值，后者是否不给分或扣分？还是满分或应该加分？
2 解题实质
传统意义上的解题，比较注重结果，强调答案的确定性，偏爱形式化的题目．而现代意义上的“ 问题解决” ，则更注重解决问题的过程、策略以及思维的方法[2]．对解决数学问题的心理过程研究表明，解决数学问题由“ 问题信息—问题空间—策略方法—解决问题—评价反思”构成．能够反映解题者解题质量的，是“ 问题空间、策略方法、推理运算” 这3 个相互联系、相互影响的要素．
2.1 问题空间
问题空间主要表现为解题者对问题的重新描述和在头脑中的内部表征．问题解决者的认知结构影响着问题空间的构成．对同一问题而言，不同的问题解决者形成不同的问题空间，而不同的问题空间，决定着如何选择解决问题的知识和策略[3]．解题者对问题空间的表述有3 个层次：错误、正确、创新．
显然，错误的问题空间，必将导致解题错误；正确的问题空间，如果知识策略选择错误或不合理，将导致解题过程复杂或不能完成解题；正确而具有创新意义的问题空间，将使问题解决顺畅和简洁．一个典型的问题是“ 哥尼斯堡七桥问题” ，欧拉正是创造性地将问题表征为“ 一笔画” ，使问题得以简明地解决．
2.2 策略方法
数学解题的策略方法是为了实现解题目标而采取的方针和途径，数学具有生动活泼的策略思想和方法技巧[4]．具体来说，当解题者形成了正确的问题空间后，他是选择代数方法还是几何方法，利用函数还是利用不等式，分类讨论还是整体证明，等等．同样，策略方法的选择也有“ 不当、正确、创新” 3 个层次．如对于“ 若不等式0≤ x2+px+5≤ 1 恰好有一个实数值为解，求实数p 的值” ．如果把问题表征为不等式的解是单元素集合而选择“ 一元二次不等式组的解法” ，问题的解决第3 期 汤慧龙：数学解答题评分的不足与对策研究 77就变得复杂．如果把问题表征为二次函数的值域而选择利用二次函数“ y = x2 + px + 5 ” 的图像，问题的解决就容易得多了．
2.3 推理运算
完成一个数学问题的解答，需要表示为一系列的推理和运算．推理和运算的每一个环节，仍然表现为“ 错误、正确、巧妙” 3 个层次，体现了解题者的数学基本功．
3 评分和建议
目前的“ 步骤” 或“ 节点” 评分方法的一个很大问题，是对同样得出答案但具有不同思路、不同方法和不同运算的解题不加区分，给予同一个分数，这不符合数学教育的改革和发展．我们提倡自主学习、研究性学习，提倡发挥学生的个性和创造性，应该体现在数学测试的评分之中．根据对解题过程的分析，我们认为数学解答题的评分可作以下改革．
3.1 要 素
按照“ 问题空间、策略方法、推理运算” 这3 个要素进行评价．也就是说，对解题者提供的整个解题过程，不是以“ 节点” 的对错进行评价，而是对问题空间、策略方法、推理运算这3 个要素，分别评价其正确与否，以及是否具有创新意义．
3.2 分 值
根据解题者的解题情况，可以对问题空间、策略方法、推理运算3 个方面赋予一定的分值．因为不同的数学问题考查的侧重点不同，各个要素的分值应随着问题的不同而不同．同时，特别需要指出的是，传统的评分标准中，一个解答题的分值是一个定值，即无论用什么方法，只要步骤和答案正确，分值是一样的，即所谓的满分．我们认为，对一个解答题只能规定一个基本分，对于有创新意义的、比较简明的解法应该给予适当的加分． 例如“ 二次函数y = ax2 + bx + c的图像过点(3, 1)，且它的顶点是(2, 3)，求a, b, c 的值．”解法1：由344229 3 12=−− =+ + =aac baba b c，解得a = −2, b = 8, c = −5．解法2：设y = a(x − 2)2 + 3，则a + 3 =1, a = −2 ，所以y = −2x2 + 8x − 5，即a = −2, b = 8, c = −5．显然，这两种解法所反映的数学素养是有区别的，其分值也不应该相同．
3.3 命 题
前面说过，不同的数学问题所表现的问题空间、策略方法和推理运算的重要性是不同的，有的突出问题空间的描述，有的突出策略方法的选择，而有的突出推理和运算．为了考查解题者对问题的理解——问题空间的形成，数学试题的命题形式也应有所改革．我们不妨借鉴英国中学的“ 数学大型作业评价” ，给出问题情境后提出“ 你是怎样理解问题的？把你的思路清楚地写下来，好让别人明白你做了些什么？” 等类似的问题[5]．
4 结 束 语
数学解答题的评分还有许多细节问题需要研究，但传统的评分方式不适应数学教育改革的发展．科学合理的评分方式，应有利于评价学生的数学素质，发挥学生数学学习的自主性和创造性，是数学教育改革的重要推动力．
［参 考 文 献］
[1] 杜文久．数学测验中主观题的评分问题[J]．数学教育学报，2006，15（3）：87−88．
[2] 何小亚．解决数学问题的心理过程分析[J]．数学教育学报，2004，13（3）：34−36．
[3] 汤慧龙．关于数学问题空间的研究[J]．数学教育学报，2009，18（2）：23−24．
[4] 罗增儒，罗新兵．作为数学教育任务的数学解题[J]．数学教育学报，2005，14（1）：12−15．
[5] 唐瑞芬，李士锜．数学教育评价研究[M]．上海：上海教育出版社，1996．