要：奇偶性是函数的一个重要性质，它不仅有助于培养学生的理解能力和推理论证能力，而且奇偶性的图像特征还是培养和发展学生数形结合思想的重要载体．就高一学生而言，在对函数奇偶性概念理解方面，大多数学生对奇偶性概念表征较为单一；在奇偶性概念应用水平方面，数值角度的认知取向表现得较好，而在符号推理、图像认知以及语言表述方面存在很大的认知缺陷．
关键词：函数；奇偶性；表征；数值；图像；符号；语言表述
1 问题的提出
无论是基础教育还是高等教育，函数一直是数学教学的核心内容，也是整个数学教学的基础．函数的性质历来是各项考试考查的重点与热点问题，在高中数学中占有重要的位置．作为函数重要性质之一的奇偶性，不仅应用极其广泛，而且还有助于培养学生的理解能力、推理论证能力和探索精神．此外，函数奇偶性的图像特征不仅能使学生感受和体验到数学的美感，还是学生进一步学习函数对称性的基础，是培养和发展数形结合思想的重要载体．查阅中外期刊文献，有关函数的奇偶性解题及应用的综述很多，却很难找到一篇有关奇偶性认知方面的文章．我们无法真正清楚学生对奇偶性概念的理解与掌握程度以及其带给学生学习的影响．因此，本研究主要从以下两个方面进行：（1）学生对函数奇偶性概念的理解情况；（2）学生对函数奇偶性的应用水平．
2 研究方法
2.1 研究对象
本研究共选择了上海市3 所中学高一年级共132 名学生，分别是宝山区市重点中学一个班37 人；杨浦区市重点中学一个班31 人；闵行区普通中学两个班31 人和32 人．
2.2 测试题目
（1）请你谈谈你认为什么是奇函数和偶函数，使用自己最擅长的方式和尽量多的方式将你的理解表达出来：文字、图像和符号，也可以举例说明．
（2）已知( ) = 2005 + 3 − −8xf x x ax b ，f (−2) =10 ，则f (2)为（ ）．Ａ. −26；Ｂ.2；Ｃ. −10；Ｄ.18．
（3）已知f (x)为奇函数，且x∈[−5,0)∪(0,5]，x∈(0,5]的图像如图１所示，则f (x)< 0解集为（ ）．
（ 4 ） 已知函数f (x) 对一切x, y∈R ， 都有f (x + y) = f (x) + f ( y) ；①求证： f (x) 是奇函数；②若f (−3）= a ，用a 表示f (12)．
（5）证明奇函数的图像关于原点对称，据此推测函数y = f (x) 关于(a,b)对称的充要条件．
2.3 研究程序
本研究旨在了解高一学生对函数奇偶性的认知状况和存在的问题，主要采用测试卷和访谈的方式进行研究．测试工具有：预测卷、正式测试卷和访谈提纲．预测试卷主要是根据自己几年的从教经验以及和一些专家教师与学生的交流，并查阅了大量的国内外关于函数奇偶性的主要内容和各个研究角度的相关资料，进行整理、归纳而编制的．预测后，根据学生所做的情况对预测试卷的某些题目的难度或顺序进行修改，制定出正式测试卷．实施测试后，抽取部分代表性的学生进行访谈．通过个别访谈进一步了解学生回答问题时的思维过程以及未在问卷中反映出来的认知问题，还可以进一步了解学生关于函数奇偶性的认知基础．
2.4 统计方法
中文Excel2007 和Spss10.0 进行数据统计和分析．
3 研究结果及分析讨论
3.1 学生对函数奇偶性的概念理解
第1 题是让学生根据自己的理解谈谈什么是奇函数和偶函数．目的不是要求学生背诵定义，而是考察学生对函数奇偶性概念的多种理解，并了解学生对哪种形式的定义方式最容易理解和接受．
结果显示：学生对函数奇偶性的概念表象大多以图像（占44.7%）和符号（占31.0%）的形式存在的，而以文字语言（占10.2%）表达的最少，在我们调查的4 个班中，这种情况大致都是一样的．很多学生都是先将图像画出来，然后再进行文字或符号说明；也有的同学仅仅画了一个奇函数图像（一条过原点的直线）和一个偶函数的图像（一条抛物线）；只有很少的一部分学生能够利用文字进行详细说明．对于这个结果，表明图像以直观、生动形象的形式最容易被学生接收；奇偶性概念的符号形式是课本上的定义以及教师在xy2.8 50–23–0.3图1 试题3
课堂上及课外反复训练的结果，带有一定的记忆成分．而要用文字语言将函数奇偶性概念准确地表述出来，则需要对概念本身有着深刻的理解．
Lesh[1]将表征的方法归纳为5 种：活动性表征、图像性表征、符号性表征、口头语言和现实情景（或实物），并且认为，它们之间不一定存在先后的发展顺序，主要应重视它们之间的转换和相互影响，因为这种转换和影响对于学生的概念形成和理解有重要的意义．在学生的回答中，很多回答都是只用了一种或两种表征对函数的奇偶性进行说明，而且很多都是很简单和片面的，甚至还出现了一些错误的回答． 比如， 有的同学写到： 如果函数的表达式满足f（− x) = − f (x)，就是奇函数，而如果f（− x) = f (x) ，那么这个函数就是偶函数．这样就忽略了对定义域的考虑，导致学生在判断函数奇偶性的时候不去考虑其定义域的对称要求，只关注解析式的特征；也有的同学就只是画出了一条直线或者抛物线，说这就是奇函数和偶函数等等．在访谈中，学生C12 回答说：“ 奇函数的定义就是说当x 取成–x 时，f (x)就变成负的了，偶函数就是f (x)保持不变．” 学生C23认为“ 函数奇偶性的定义式子，与当x 取成–x 时f (x)相应图像的特征是没有关系的，式子是在解析式中使用的，而图像是为了画图时才用的．” 这些学生并没有真正理解奇偶性定义的符号表征与图像表征之间的相互联系．
由此可见，许多学生对函数奇偶性概念表征是较为单一的，而如果学生只能用简单的一两种语言来进行表征，甚至不能用自己的口头语言来进行描述，这不仅不利于他们对概念的理解，更会影响他们在解决问题时对概念的使用，导致他们不能进行各种语言之间的灵活转化．
3.2 学生对函数奇偶性的应用水平
3.2.1 从数值角度看
第2 题需要学生能够发现题目所给式子中隐含的特点，并利用其构造奇函数来解决问题．此题不仅要求学生能利用代数方法解题的能力，而且要求学生对函数奇偶性的性质有良好的应用意识．整体来看，学生对这道题目的回答情况是比较好的，正确率达到82.4%．在正确的答案里，学生使用了各种不同的方法：有的学生直接将条件代入进去，然后利用代数式运算得出结果；有的学生是列出方程，利用方程的方法进行加减消元法得出结果；也有部分学生采用的是构造出奇函数，然后再利用奇函数的特征进行求解．此外，还有很多学生的分析思路过于简单，如有的说利用整体法，有的说利用带入法求值等．对于学生使用方法的好坏我们不作评价，我们主要关心的是学生对函数奇偶性“ 先入为主” 的应用意识．从此题的解答情况来看，能够采用构造奇函数方法来解决问题的学生还不到30%，大多数学生对函数奇偶性的掌握只是处于操作和运算的水平．奇偶性概念在学生的认知结构中还没有形成一种模式化的对象，在面临问题时不能从整体上识别模式．
3.2.2 从图像角度看
第3 题主要是通过图像角度来考查学生对函数奇偶性性质的掌握程度．奇偶性的图像特征不仅是判断和理解奇偶性概念的一个重要侧面，而且应用图像特征解决问题常常能起到直观而快捷的效果．
此题已知函数是奇函数，且给出了函数在定义域右半部分的图像，要求出不等式f (x) < 0 的解集．结果表明，在所有测试的学生中，有超过50%学生都回答错误．而在两个普通班，错误的学生更是达到了71.9%和77.4%，可见错误率是相当高的．在正确答案中，大部分学生采用了这种方法，即先根据奇函数的图像关于原点对称的特征将其图像补充完整，然后再根据图像写出y<0 所对应的区间．在错误答案中，也有很大一部分的学生知道奇函数的图像关于原点对称这一特征，但是却有一部分学生难以根据大于0 部分的图像画出对称区间上的图像；而在补全了图像的学生之中，由于不善于从图像中获取信息，使得很多的学生得出了错误的答案．其中有一种错误的现象特别值得我们注意，有26 个学生（约20%）在给出的答案中，居然包含了( −∞ , −2.8 )以及诸如此类的区间，从这一点我们可以知道，这些学生在理解函数奇偶性图像对称性的时候，根本就没有关注定义域也是对称的这一特点，可以这样说，这些学生对函数的奇偶性的理解有着严重的缺陷．
3.2.3 从符号角度看
第4 题和第5 题，主要考查学生对函数奇偶性的分析认知水平．第4 题是利用函数奇偶性的定义和题中条件进行符号推理和证明题，旨在从整体上考察学生对函数奇偶性定义的理解程度和应用能力水平；第5 题是利用函数奇偶性的定义与性质，从文字与符号推理来证明其图像的对称性，并进一步推广到函数图像关于任一点的对称性．这里我们主要就第5 题学生的解答进行分析．借助SOLO 分类评价法[2]，我们将学生回答的问题进行划分，即分为5 个层次水平：
（1）水平1：前结构水平．表现为不回答、不相关的回答或者毫无逻辑的回答．例如：①∵ 奇函数，∴ 奇函数关于原点对称；② ∵ 奇函数定义域关于原点对称， ∴ 设( , ), ( , ) 1 1 1 2 A x y B −x y ，函数f (x) = x ， 1 1 )4y = tan （⋅ − x = −xπ ，同理1 1 y = x ，∴ 1 2 y = −y 故关于原点对称；
（2）水平2：单一结构水平．表现为只涉及到很简单的公式应用或者单一的数的对称等．例如：①∵ f (x)为奇函数，∴ f (x) = − f (−x) ，∴函数关于原点对称；② ∵ f (x) 为奇函数， f (−x) = − f (x) ，f (x) + f (−x) = 0 ，∴奇函数图像关于原点对称；
（3）水平3：多元结构水平．表现为学生能够写出更多的正确的相关特征或线索，却不能觉察到这些特征或线索之间的联系，不能对线索或特征进行整合，常常给出一些支离破碎的信息．例如：①∵ f (x) 为奇函数，∴ f (x) = − f (−x) ，即有点(x, f (x)) 与(−x,− f (x)) 关于原点对称；②∵ f (−x) = − f (x) ，x + (−x) = 0 ，− f (x) + f (−x) = 0，∴ 函数关于原点对称；③ 取( , ),( , ), 1 1 2 2 x y x y 关于(0,0) 对称， 2 1 x = −x ，2 1 y = −y ( , ), 1 1 x y ( , ), 1 1 −x −y 1 1 f (x ) = y ， 1 1 f (−x ) = −y ，∴( ) ( ) 1 1 f x = − f −x ，∴ f (x)为奇函数，且关于原点对称；（4）水平4：关联结构水平．表现为能够将所给线索充分应用，并结合适当的数学知识解决问题．例如：设函数图像上任意一点(x, y) ，其关于原点对称的点为(−x,−y) ，∵ f (x) = y ，∴ f (−x) = −y ，∴ (−x,−y) 也在函数图像上，∴ 函数图像关于原点对称；
（5）水平5：拓展抽象水平．表现为能够将相关的特征与线索推广到更高一级的水平，要求学生能够推广到函数图像关于任给一点对称的充要条件证明．例如：设函数图像上任意一点(x, y) ，其关于(a,b)对称的点为( , ) 1 1 x y ，可知：x = 2a − x, y = 2b − y 1 1 ，若函数关于(a,b)对称，则( , ) 1 1 x y 也在函数图像上，可得1 1 f (x ) = y ，所以f (2a − x) = 2b − y ；反之亦然．
按以上水平分类进行统计，有45%的学生处于水平1的程度，完全不能用数学语言解释函数图像的对称，只是处于对图像对称性的感性认识阶段；处于水平2 的学生约占18%，这一水平的学生开始试图去寻求函数图像对称的缘由并进行说明． 比如， 有的学生写出奇函数的特征是f (−x) = − f (x) ，也有的写出点(x, y) 关于原点对称的点为(−x,−y) 等；处于水平3的学生约为24%，这个水平的学生已经可以分析出很多条件．比如，奇函数表达式的特征、点或定义域的对称要求，并开始试图去将式子联系起来进行图像对称的说明，但是却没有能够将条件顺利地整合起来推出最后的结论；能够达到水平4（即能够清楚地将问题证明出来）的学生只有18 个（占14%），即只有很少一部分学生可以清楚地理解函数奇偶性图像的对称问题，并且知道如何用符号语言去进行推理证明；最后，处于水平5 是在水平4的基础上的进一步的拓展和创造，但在第一问证明出来的学生之中，也只有9 个学生把这个充要条件推测了出来．由此可见，学生在进行符号推理方面暴露出极大的认知缺陷．我们认为，这种认知缺陷主要表现在两个方面：一是学生对于图像对称性的认知问题．在试后的访谈中，很多学生都声称“ 不清楚到某个点距离相等的任意点的表示方法，不知道怎样将平面内对称的点用符号表示出来” ；另外一方面就是学生缺乏将函数奇偶性知识与其他几种知识综合起来进行推理、应用和拓展的能力．
终上所述，无论是数值、图像和符号形式的奇偶性应用，学生对函数奇偶性的认知水平是不容乐观的．特别是在图像与符号角度上应用水平的表现，离学生真正地理解和灵活运用概念还有一定的距离．
4 启示与建议
传统的数学教学常常把重点放在函数奇偶性的符号分析与推理上，而对函数图像的动态生成特征缺乏关注；现行的新课标更强调了对函数定义的理解，鼓励学生运用现代教育技术，比如，利用计算器、计算机来探索和研究函数的性质，而对函数奇偶性的符号推理与证明降低了要求．从我们的调查可知，学生不仅在符号推理方面确实存在极大的认知缺陷，而且在图像应用水平、语言表述水平等方面也有很多的认知障碍，大多数学生对奇偶性的掌握还不能达到真正的理解和应用，这对于他们后续的学习是极其不利的．因此，如何使学生真正理解和应用函数的奇偶性概念是目前教师在进行奇偶性教学遇到的新的挑战．
根据调查结果，我们认为，在做好函数奇偶性的教学中，要做到以下几点：第一，多角度地理解概念．根据Pirie 和Kieren 提出的超回归理解模式[3]，如果学生只是在直观上了解了函数奇偶性图像的对称性，而不能够将其用形式化的方式表达出来的话，他就将无法在进行深入的理解和掌握，无法进行观察评述、组织结构和发明创造．因此，在教学中我们不能仅仅看学生是否记住了其定义和常见的题目类型，还需要让学生能够用自己的语言和数学语言来解释奇偶性，并能够从函数图像和符号的角度进行推理，做到真正的理解；第二，概念应用水平的多元化．检验一个概念的理解水平需要从不同层次、不同角度来进行．第三，包容性、开放性的课堂教学．要真正摸清和提高学生对概念的理解水平，要允许学生畅所欲言、出现错误，要留给学生一定的思维发展空间，并能提供给学生充分展示和暴露自我的机会，所有这些都需要教师能创造一个包容性的、开放性的和谐课堂气氛．
［参 考 文 献］
[1] Grouws D A. Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning [M]. New York: Macmillan PublishCompany, 1992.
[2] Biggs J B, Collis K F. Evaluating the Quality of Learning——the SOLO Taxonomy [M]. New York: Academic Press,1982.
[3] Pirie S, Kieren T. Growth in Mathematical Understanding: How Can We Characterize It and How Can We Represent It?[J]. Educational Studies in Mathematics, 1994, 26(2–3): 165–190.