缓冲击波的计算与分析
摘 要：
本文在缓冲击波理论Von Karman 积分的基础上，通过分析给出了缓冲击波附体的偏转角条件，指出了缓冲击波理论关系式的适用范围，并分析给出最大边墙偏转角的理论数值。同时本文在缓冲击波微分式的基础上分析给出一种缓冲击波数值计算方法，并给出计算波后物理量的计算公式，该方法计算简便，适于由计算机编程实现，较好的解决了Von Karman积分式不易应用以及简化式适用范围不广的不足。
关键词：急流，缓冲击波，偏转角条件
1 前 言
水工明槽急流中，当边墙向水流外部偏转时，由于水流失去边墙的依托，水面出现跌落，产生扰动，形成缓冲击波。早在20世纪30年代Von Karman首先推导得到缓冲击波积分式,该积分式目前被各教科书普遍采用，但是由于该积分式较复杂，直接求解较困难，故常利用辅助曲线图进行求解，但图形数据误差较大，且不便于应用。为解决Karman积分不易求解的困难，90年代刘韩生等人对缓冲击波计算公式进行了研究，得到简化积分式]。简化积分式虽然计算简便，易于实际应用，但是在适用范围和计算精度方面都存在一定问题。为此本文分析给出一种缓冲击波的数值计算方法，并给出计算波后物理量的计算公式。该方法计算简便易于编程实现。
我们知道缓冲击波理论是在水流附体（水流附着边墙）情况下推导出来的，但当边墙向外偏转角度大到一定程度时，在偏转点后面会形成水流脱离边墙状况，在那里会出现回流漩涡，空蚀等复杂情况，从而致使缓冲击波基本理论在这些区域不成立。而迄今为止，对于偏转角的限制只是在工程设计中给定一些大致的范围，还没有人给出保证缓冲击波基本理论成立的最大边墙偏转角度。为此，本文在基本理论关系式的基础上，通过分析给出了缓冲击波附体的偏转角条件，指出了最大边墙偏转角的理论数值。
2 缓冲击波关系式的简单分析
缓冲击波是指边墙向水流外侧转折产生的水流扰动现象。图1 所示为一明渠扩散段，河道偏转起始点为A，在A点之后河道向水流外侧偏转，偏转角度记为θ ，由于向外侧偏转，为便于理解计算，偏转角取负值，即为θ ，称为边壁偏转角。假设来流为均匀急流，流速记为1，水深为，来流佛汝德数为v 1 h且。受河道偏转影响，产生缓冲击波。缓冲击波可以看作是由连续分布的干扰线所组成。干扰线形成的波高总和为。根据两条流线之间线段的动量变化方程及经过一些变换，再利用比能不变假定可以得到缓冲击波微分式：
由于边墙向水流外侧偏转时，在转折点后面可能形成水流脱离边墙区，会出现如回流漩涡，空蚀等复杂情况，而这些情况下都无法使用Korman 积分来计算，即Korman 积分仅适用于缓冲击波附体的情况，下面分析冲击波附体的最大河岸偏转角。
3 最大河岸偏转角的分析与计算
由于式（2）中θ 值为负值，要求最大河岸偏转角即求θ 的最大值，也就是θ 的最小值。
Korman 积分中0 θ 为积分常数，根据θ = 0时1 h = h 的初始条件来决定，即实质上0 θ 是代表扰动前的水流要素：
式（7）两边对t求导数，得，所以θ是关于变量t的单调递增函数。故θ的最小值必在t的最小值处取得。下面求t的最小值。式（6）两边对求导数，得，所以t是关于变量的单调递增函数，故t的最小值必在h的最小值处取得。由上可知hθ在h取最小值时取得最小值。
由式（5），我们考虑h取值的极限状态，令,代入式（2），此时得到0→h0θθ=，所以求θ的最小值转化为求0θ的最大值。由式（3）及式（4）知，0θ的值由起始水深以及起始流速确定。为更好的讨论1h1v0θ的取值情况，我们利用来流弗汝德数1211ghvFr=及式（4），代入式（3）整理得到式（8）两边对求导数，结果导数小于0，知1Fr0θ是关于的单调递减函数，即在取得最小值时1Fr1Fr0θ取得最大值。由于表示来流弗汝德数，而急流状态下1Fr1>Fr，故考虑取值的极限状态，令，代入式（8），得到1Fr11→Fr)13(20=πθ，这就是0θ能够取得的最大值，那么θ能够取得的最小值就是)13(2π，即偏转角能够取得的最大角度为)13(2π。如果来流水深和流速已知，即来流弗汝德数已知，则可以确定积分常数0θ，此时偏转角能够取得的最大角度0maxθθ。
4 缓冲击波波后物理量的计算方法分析
根据缓冲击波微分式，考虑如下微分方程初值问题的数值解法：
式中为计算步长，变量lθ的计算范围为0)13(2<<θπ。上述公式用编程实现后可方便的计算出缓冲击波波后水深，则波高2h21hhh=Δ，又由比能不变假定)2(2220FrhgvhH+，可以计算出波后弗汝德数22202=hHFr，继而由ghvFr2=可以计算出波后流速222ghFrv=。
由于缓冲击波可看作由连续分布的干扰线所组成，所以可以利用波前及波后各物理量的数值确定出缓冲击波发生的位置，即确定出波角的范围。设第一条干扰线与x轴的夹角为1α，最由于来流为急流，所以11111sinFrvgh==α，故111arcsinFr=α，类似的在前面求出波后弗汝德数后可以求出rF2α，即221arcsinFr=α。
5 计算实例
设来流为急流，起始水深，起始弗汝德数mh8.01=41=Fr，边墙向水流外侧偏转的角度为。此时o10=θ4.2)2(22112110=+=+=FrhgvhHm，代入方程（9），并利用计算公式（10）进行数值计算，计算过程如图2所示，计算结果为波后水深0.4912米，波高0.3088米，波后弗汝德数=2h=Δ21hhh22202=hHFr=7.7720，波后流速1166.6222==ghFrvsm/2.又由最大河岸偏转角的分析，8363.014114330max=arctgarctgθθ弧度，即θ最小值能取到弧度，从图2中也可以得到相同的结果。
6 结论
本文在缓冲击波理论基础上，经过分析给出了使得缓冲击波附体的最大河岸偏转角，指出了缓冲击波理论关系式的适用范围。并通过对缓冲击波微分式的分析，得到波后物理量的数值计算方法。最大河岸偏转角的提出对有关水工设计给出了参考依据，求解波后物理量的计算方法计算简便，适于由计算机编程实现。
本文对于缓冲击波附体的条件及计算方法进行了分析研究，而对于急流冲击波，王如云等人已经对急流冲击波的亚临界角条件进行了系统的理论分析，并针对亚临界条件下的急流冲击波给出了一种快速迭代计算方法。 7[因此，对于冲击波以及缓冲击波的基本理论分析及计算方法设计已经得到进一步完善。由于水工设计中渠槽边壁还有更为复杂的情况，故对于复杂结构的冲击波以及缓冲击波还有待进一步研究分析。
