探索主动轮廓Mumford-Shah模型的发展与研究
摘要：
在计算机视觉领域，主动轮廓模型被认为是计算机视觉研究中的一个新的里程碑。为了使人们对主动轮廓的新思想、新方法有概略了解，在对比经典Snake模型的基础上，全面介绍了新的主动轮廓Mumford-Shah模型在图像恢复和图像分割等应用中的内在机理、研究方法. 在总结五种重要简化模型的基础上，着重探讨分片常数模型及其最小划分性质；研究分段平滑模型的水平集方法及其主动轮廓平均曲率进化性质；并给出了关于水平集方法的若干重要注记；最后指出Mumford-Shah模型今后可能的研究方向。
关键词：图像分割，主动轮廓，Mumford-Shah模型，Snake, 水平集
1. 引 言
计算机视觉领域，图像分割、边缘检测、特征提取、形状匹配和运动跟踪等被认为是个非常经典的问题。变形模板的概念几乎随着Widrow的橡皮模板和Fischler的弹性模板而进入计算机视觉领域。因为变形模板能够发生变形以收敛到图像特征。因此，这些年，计算机视觉界开展了很多关于变形模板的研究。其中，最有代表性的自由式变形模板是1989年Kass提出的称为snake的主动轮廓模型（active contour model）。在这个方法中，一个被称为snake的能量化样条，由控制平滑度的轮廓内部能量、吸引轮廓到特定特征的图像力量、外部约束力等力的组合来控制和约束，样条收敛到能量极小的位置。因此，吸引了大批国内外的专家学者的广泛兴趣，取得了大量的成果。本文无意对snake模型多加赘述。而是与此对照的阐述另外一类重要的主动轮廓模型─Mumford-Shah模型。 ]1[]2[]3[Mumford-Shah模型是廿世纪80年代由D.Mumford和J.Shah提出的，在理论上是一类具有体积能量和低维测度的新的变分问题。在应用上是建立液晶性态、断裂力学和图像处理中的数学模型。近二十年来，国外对图像恢复和图像分割中Mumford-Shah模型的研究，取得了大批的成果，提出了许多简化模型和及其快速数值解法；国内对Mumford-Shah模型的研究起步很晚，目前尚不见相关研究报道。Mumford-Shah模型具有比snake模型更加坚实的理论基础，在图像处理的实际应用上也具有比snake模型无法比拟的优点。之所以被国内的学者所忽视，大体上是由于Mumford-Shah模型是现代数学中的一种自由不连续问题，由于模型中对图像中边缘等跳跃部分通过几何测度(Hausdauff测度)项来控制，使数值逼近或数值解成为十分棘手的问题。
本文从简化Mumford-Shah模型的角度，将尽可能的全面阐述近两年发展起来的一些重要的简化模型，分析其主动轮廓的内在机理；希望引起国内学者的关注，并对读者的进一步研究有所裨益。
2. Mumford-Shah模型
1985年，D.Mumford和J.Shah提出一个图像分割的目标函数，并通过函数优化的方法进行图像分割。1989 年，他们再一次提出通过分片光滑函数的最佳逼近解决边缘检测问题，之后数学家的介入研究并指出计算机视觉领域的图像分割、边缘检测、图像重建等问题可以通过现代数学中的自由不连续问题来建立数学物理模型。如果记[4]
Ω∈R2 的开集为定义在0 u x y Ω上的给定图像； u 为在S 0 u x y Ω上的不连续集（如：图像的边缘部分）；变量函数u(x, y)为定义于上的图像.Mumford-Shah 泛函可以定义为： u Ω Smin2 1 ( )}
u u u G u S S ? R 的闭集，u∈C Ω S其中：
(up q G u K u x y u x y dxdy u x y dxdy 1 S0 = ∫ + ∫ + ΗΩ Ωβ α γ )(1)这里， 1≤ p < +∞ ， q = 1,2 ，u ∈ Lp (Ω)∩ L∞ (Ω)0 ， H1 为一维的Hausdauff 测度，α ,β ,γ > 0。
可见 Mumford-Shah 泛函通过引入图像的保真项来控制分割后图像的相似性条件，而通过图像的正则项来保障分割图像一定的光滑性，长度项控制图像边界的分数维粗糙度。对于模型（1）的解的正则性和唯一性， Giorgi 等人在一种特殊的有界变差空间（SBV）中解决了解的存在性和部分正则性，并认为在特殊的有界变差空间（SBV）或广义特殊的有界变差空间(GSBV)中有弱的形式[6]。
作为对比，我们引出Snake 模型。一条Snake 可一弹性变形，但是任何变化将增加内部能量而产生将它拉回原来位置的力。同时Snake 处于一个能量场（由图像产生）中，它产生外力作用在Snake 上，这两种力作用下，轮廓调整自己的位置和形状直到达到能量的最小值。令表示轮廓，代表从单位参量域[3][7]
v(x(s), y(s)) s ∈[0,1]到图像表面的映射，同时认为轮廓上的外部力是势能的微分。这样轮廓上的总能量可以定义为： (sv的角标表示相对于s的微分。E (v) s 定义了一个可伸长和可弯曲的轮廓的内部变形能量，它由两个参数进行控制： 控制轮廓的“应力”， 控制轮廓的刚度，这些参数操纵着模型的物理行为和局部连续性。外部势能P(v(s))吸引Snake 到显著的图像特征。
由（1）和（2）可知，Mumford-Shah 模型与Snake 模型提出了一种根据能量项叠加的目标函数的最小化进行全局优化的双向驱动机制，即在计算机视觉领域，边缘检测、特征提取、立体视觉匹配和运动跟踪等低层事件的正确理解依赖于高层知识，由合适的能量函数的局部极值组成了可供高层视觉处理进行选择的方案，这样在寻求显著特征的同时，高层机制可能通过图像特征推向推向一个适当的局部极值点而与模型进行交互。由于Mumford-Shah模型具有结合使用高层知识的能力，支持直观的交互式操作，成为目前最引人注目的主动轮廓方法。Mumford-Shah模型与Snake 模型一样具有一些经典方法所无法比拟的优点：（1） 图像数据、初始估计、目标轮廓及基于知识的约束统一于一个特征提取过程中；（2）经适当的初始化，它能够自主的收敛于能量极小值状态；（3）尺度空间中又粗到精的极小化能量可以极大的扩展搜索的区域和降低计算复杂性。但是Snake 模型其自身的局限性比较明显：对初始位置敏感，需要依赖其他机制将Snake放置在感兴趣的图像特征附近；由于Snake模型的非凸性，它有可能收敛到局部极值点，甚至发散。Mumford-Shah模型的比Snake模型优越之处在于前两项的叠加提供了总体变差最小的机制，而长度项控制了边界曲线的光顺程度，从而将图像的恢复和去噪统一于模型之中，控制了底层的误差扩散。同时，从文中Mumford-Shah模型的水平集算法，我们将看到Mumford-Shah模型对初始轮廓的位置不敏感，初始轮廓可以放在图像中任何地方。
Mumford-Shah模型的缺点在于正则项和长度项很难找到简单的数值逼近，这成为Mumford-Shah模型理论应用的重要阻碍。直到1995-1996年冬天，De Giorgi提出对Mumford-Shah泛函可通过非局部泛函进行逼近的数学猜想；一年以后，Gobbino对De Giorgi猜想进行了严格的数学证明，并给出了数值收敛的数学条件；人们才真正意义上进入实际工程应用。
下面阐述Mumford-Shah模型五种简化的数学模型及其实现方法。
3. Mumford-Shah模型的简化和实现
3.1弱膜能量模型
Chambolle根据Giorgi提出的Mumford-Shah泛函可通过非局部泛函进行逼近的思想，研究指出, Mumford-Shah泛函实质上与Black和Zisserman等人在1987年进行视觉重建时提出的弱膜能量一脉相承，证明了离散弱膜模型]11[Γ逼近于Mumford-Shah泛函；并且给出了几种广义弱膜能量的有限差分形式。
文献证明了当,和]12[0→h()uEh1()uEh2不同程度的逼近于式（1），()uEh2的逼近程度更高，但计算代价更大。文献中对参数的选取以及影响作了大量的数值实验
3.2 辅助变量模型
Ambrosio等人利用逼近的概念，通过设置辅助变量函数]14][13[Γ]1,0[:→Ωv，来表征跳跃集，定义了松弛泛函： uS(v他们证明了，如果为目标泛函),(ρρρvuw=()vuE,ρ的最小序列，则在范数下，为u的近似，当2Lρu,1→ρv0→ρ。这里，仅在不连续集得很小的邻域为1，其它地方都小于1。ρvuSRichardson等人进一步分析了文献中的泛函及其可能推广的形式，得到了自由度更多，灵活性更强的泛函。对于松弛泛函]vuE,ρ的数值逼近方法，文献中提出了最小梯度下降方法。文献中则提出了有限元算法。
3.3简化的非凸泛函逼近模型
Chan和 Vese 通过对图像恢复的变分问题以及总体变差最小问题的分析，基于Ambrosio等人提出的辅助变量的目标泛函，提出了一种简化的非凸泛函逼近方法。这种逼近和Ambrosio逼近并不等价，由于泛函的非凸性因此是病态的。为此，Ambrosio等人提出通过结合总体变差最小和非凸泛函逼近的简化方法。数值实现时，利用变分原理转化为欧拉方程的数值解法，并成功的应用于医学图像的分割。]19[]20[Chan和 Vese提出的非凸泛函逼近模型是对松弛范函（5）得到欧拉-拉格朗日方程他们注意到6式的复杂性在于6式是一个双变量的系统；如果能将双变量系统简化为单变量系统，问题便大为简化。由6式的第二个方程， 实际上是v2411u+αρ的平滑形式，因此他们的主要思想是将6式左边第一项vΔ从方程中去掉，则得到显示表示v2411uv+=αρ。然后重新代入模型（6），因此得新的范函：
3.4分片常数的Mumford-Shah模型
同样是Chan和 Vese 等人对Mumford-Shah泛函提出了更为简化的方法，即认为u可以由分片常数进行划分，从而提出了分片常数的Mumford-Shah泛函模型。]21[令图像所在的矩形区域为(yxu,0 ) Ω，区域Ω中开子集Ωω（ω为目标所在的区域），ω的边界曲线记为C，i.e.ω=C. 则曲线之内即为C)(Cinsideω，曲线之外记为)(CoutsideωΩ。记为C的长度，为C的面积。则可建立分片常数能量范函其中0,,0,021>≥≥λλνμ为固定的参数；为常数，则，分片常数的Mumford-Shah模型即考虑上述能量函数最小问题注1：在模型（8）中，长度项可推广为)(CLength()1,)(≥pCLengthp。如果考虑区域任意维数的情形：NRΩ，，则1>N1=p或者()1/=NNp。因为，区域和面积存在如下相容关系
其中，为给定的图像，0uνλμ,,为固定参数，图像u为此能量范函的最小解。Mumford-Shah指出，此问题的简化形式是将此能量范函()CFMS,μ限制在分片常数的连通上，即，这里iRictconsutan=φ=Ω=iiRCRΙΥ,（空集）。同时，Mumford-Shah也指出在连通区域，常数应为此区域图像函数值的平均值即ic)(0uaverageci=。因此，模型（9）的最小问题被称为最小划分问题。
注3：上述模型由于没有梯度项，被称为无梯度的主动轮廓Mumford-Shah模型。
3.5 水平集模型
1988年，Osher和Sethian首次提出水平集方法，将曲线或曲面看成一函数的零水平集，通过函数的水平集进化来确定曲线和曲面的进化。水平集方法被认为是分析和计算2维或3维中曲线或曲面运动问题的一种简单实用的万能方法;广泛应用于图像的形状描述，3D动画中的变形技术，虚拟现实中不规则模糊物体建模，以及三维数据场的重建等许多领域。基于Mumford-Shah模型的图像分割或边缘检测问题，本质上是曲线进化问题，因此可以利用水平集方法建立相应的简化模型，并进行数值解。]23[]24[]25[]26[]27[定义1 定义在R上的函数注6．上面的水平集模型仅利用了一个水平集函数，图像被分为两个不相邻的部分0>和{0< ，因此被称为一相水平集模型。如果水平集模型利用了多个水平集函数，例如利用个水平集函数n{n } Λ,,21，则图像被分为个区域，称为相水平集模型。（对于二相水平集模型,水平集函数为n2n21,图像被分为4个区域，。
注7.上面的水平集模型, 都是假定图像为单值图像（灰度图像），对于向量值图像（如彩色图像）同样可建立水平集模型。例如，可建立向量值图像无梯度的分片常数一相水平集模型，分片可微一相水平集模型。当然，也能推广到向量值图像多相水平集模型。
4 展望
Mumford-Shah模型为传统的计算机视觉理论及应用研究带来了新的观点和思维模式。Mumford-Shah模型能量极小化过程中表现出来的动态行为和边缘保持特性使其具有广泛的应用潜力。但是，Mumford-Shah模型由于正则项与测度项的叠加，其合适的数值逼近方法和快速算法成为目前进展的主要阻碍。正因为如此，目前国际上的研究主要集中于三大主流方向：一是建立新的数值逼近理论，进而提出新的简化模型；二是针对提出的简化模型，设计能减少主动轮廓线迭代步数和计算代价的快速算法；三是拓宽Mumford-Shah模型局限于图像恢复和图像分割的应用领域，如应用于特殊图像的分割，图像中丢失数据的修补（image inpainting）等。对于快速算法的研究估计今后会向下述方向发展：1）基于多尺度的快速算法，如利用小波多分辨率分析的快速算法；2）基于多处理机的并行算法的研究；3)利用弱膜能量函数作为神经网络的能量函数，利用神经网络的并行性设计新算法。4)继续寻求新的简化模型，构造收敛速度很快且计算代价小的数值逼近方法。]30][29[尽管Mumford-Shah模型的理论研究还很不完善，解的唯一性和正则性; 数值解的收敛性及其快速算法等方面存在悬而未决的许多问题，但是它所提出的新思想及其应用已经证明了它的价值。本文对其五类简化模型作了简单的讨论，试图介绍该方向的一些主要方法及其特点，并给出了一些代表性的参考文献，希望引起广大计算机视觉和图像处理研究者的注意。
